Resumen de Problemas de Mecánica Clásica

## Introducción La energía y el trabajo son herramientas fundamentales para analizar sistemas mecánicos sin resolver directamente las ecuaciones diferenciales del movimiento. En este material aplicaremos el teorema trabajo-energía a un sistema con dos bloques conectados por una cuerda que pasa por una polea ideal y con un resorte conectado a uno de los bloques. El objetivo es comprender cómo se relacionan el trabajo de fuerzas (conservativas y no conservativas), la variación de energía cinética y la energía elástica del resorte. > Definición: El teorema trabajo-energía establece que el trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética, $$W_{net} = \Delta K.$$ ## Componentes del problema - Dos bloques de masa $M_1$ y $M_2$ unidos por una cuerda ideal que pasa por una polea sin fricción. - El bloque $M_1$ se desliza por un plano inclinado sin fricción con ángulo de elevación $\theta$. - El bloque $M_2$ está conectado a un resorte de constante $k$ y longitud natural $l_0$, fijado al suelo. - El sistema parte desde el reposo y después de un desplazamiento alcanza una configuración en la que el resorte vuelve a su longitud natural (sin deformación). ### Variables relevantes - $M_1$, $M_2$: masas. - $\theta$: ángulo del plano. - $k$: constante elástica del resorte. - $l_0$: longitud natural del resorte. - $y$: altura máxima que alcanza $M_2$ medida desde el suelo. - $v$: rapidez común de los bloques en la posición donde el resorte no está deformado. - $T$: tensión en la cuerda en dicha posición. ## Descomposición del análisis (paso a paso) 1. Elegir un sistema de referencia y coordenadas para cada bloque: desplazamiento de $M_1$ a lo largo del plano $x$, y desplazamiento vertical de $M_2$ igual a $x$ (cuerda inextensible implica la misma magnitud). 2. Aplicar el teorema trabajo-energía individualmente a cada bloque: $$W_{net,1}=\Delta K_1,\quad W_{net,2}=\Delta K_2.$$ 3. Identificar fuerzas que realizan trabajo sobre cada bloque: tensión $T(x)$ (misma magnitud en ambos lados), peso $M_i g$, normal (no realiza trabajo sobre $M_1$), y fuerza del resorte (variable sobre $M_2$). 4. Sumar las ecuaciones para relacionar las incógnitas $v$ y $T$ y/o usar condiciones del problema (por ejemplo, resorte sin deformación implica energía elástica cero en la posición final). ## Aplicación del teorema a cada bloque ### Bloque $M_1$ (sobre el plano inclinado) - Fuerzas que hacen trabajo: tensión $T(x)$ (hace trabajo positivo si tira en sentido del movimiento de $M_1$) y el peso componente $M_1 g\sin\theta$ (hace trabajo negativo cuando $M_1$ desciende por el plano). La normal no realiza trabajo. - Trabajo neto: $$W_{net,1}=T(x)\cdot x - M_1 g\sin\theta \cdot x.$$ - Variación de energía cinética: $$\Delta K_1=\frac{1}{2}M_1 v^2 - 0.$$ - Igualando: $$T(x)\,x - M_1 g\sin\theta\,x = \frac{1}{2}M_1 v^2.$$ ### Bloque $M_2$ (vertical, con resorte) - Fuerzas que hacen trabajo: tensión $T(x)$ (hace trabajo negativo si $M_2$ sube y la tensión tira hacia abajo), peso $M_2 g$ (positivo cuando $M_2$ sube), y el resorte (trabajo variable). Si en la posición final el resorte está en su longitud natural, la energía elástica final es cero; en el recorrido anterior el resorte pudo haber almacenado energía. - Si $d$ es el estiramiento máximo previo pero en la posición considerada el resorte está sin deformación, el trabajo neto efectuado por el resorte desde la posición inicial hasta la final queda reflejado en la variación de su energía almacenada. Para el análisis entre estados inicial (reposo) y final (resorte sin deformación): la contribución neta del resorte es $$\Delta U_{resorte}=0 - \frac{1}{2}k d^2 = -\frac{1}{2}k d^2$$ si partió estirado, pero en el enunciado se plantea que se considera la posición final donde $U_{res}=0$ y la energía elástica inicial es la correspondiente al estiramiento que tuvo. - Para el balance directo de trabajo neto desde el reposo hasta la posición final (resorte sin deformación) se obtie