Resumen de Operaciones Algebraicas y Factorización de Polinomios

## Introducción Este material cubre conceptos básicos y ejercicios prácticos de operaciones en los números reales, manejo de radicales y factorización de polinomios, pensado para estudiantes que no asisten a clases presenciales. Encontrarás explicaciones, ejemplos resueltos y aplicaciones sencillas para practicar. > Definición: Los números reales incluyen números racionales e irracionales; las operaciones básicas (suma, resta, producto, cociente), potencias y raíces se aplican en ellos según propiedades algebraicas. ## 1. Cuadrados y cubos de binomios (identidades importantes) ### Identidades clave - Cuadrado de un binomio: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ - Cubo de un binomio: $$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ - Potencias de sumas sencillas: aplicar la identidad termo a termo. ### Ejemplo práctico Resolver $$(3+x)^2$$ usando la identidad: $$ (3+x)^2 = 3^2 + 2\,3\,x + x^2 = 9 + 6x + x^2 $$ Puedes aplicar la misma técnica a expresiones como $\left(3x - \frac{2}{3}\right)^2$ y $$(5a+2b)^3$$ desarrollando término a término. > Definición: Factorizar consiste en expresar un polinomio como producto de factores más simples (constantes, monomios y polinomios de menor grado). ## 2. Redondeo y aproximaciones - Redondear a los décimos, centésimos o milésimos significa truncar y ajustar el dígito siguiente. - Notación de tolerancia: decir $\varepsilon<0.01$ indica precisión de dos decimales. Tabla de ejemplo (procedimiento): para un número dado 1) Identificar cifra de redondeo. 2) Mirar el siguiente dígito; si es $\geq 5$ aumentar en 1, si es $<5$ dejar. 3) Completar con ceros las posiciones descartadas. ### Ejemplo Tomar $\sqrt{3}=1.7320508\ldots$: - A los décimos: $1.7$ - A los milésimos: $1.732$ - Con $\varepsilon<10^{-5}$: $1.73205$ (según regla de redondeo) Fun fact: ¿Sabías que el símbolo $\pi$ aparece en tablas de redondeo desde hace siglos y que redondear bien es crucial en cálculos médicos que requieren precisión en dosis? ## 3. Operaciones con raíces y potencias fraccionarias - Relación entre radicales y potencias: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ y $\sqrt{a} = a^{1/2}$. - Propiedades útiles: - $\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{ab}$ - $\left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq}$ - $\frac{\sqrt[p]{a}}{\sqrt[q]{a}} = a^{1/p - 1/q}$ ### Ejemplo paso a paso Calcular $\sqrt{\frac{1}{4}-0.09} - \left(\frac{4}{5}\right)^{-1} - \left(\frac{9}{10}-1\right)$: 1) $\frac{1}{4}-0.09 = 0.25-0.09 = 0.16$ entonces $\sqrt{0.16}=0.4$. 2) $\left(\frac{4}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{4} = 1.25$. 3) $\frac{9}{10}-1 = -\frac{1}{10} = -0.1$. 4) Resultado: $0.4 - 1.25 - (-0.1) = 0.4 - 1.25 + 0.1 = -0.75$. > Definición: Potencia negativa $a^{-n}=1/a^{n}$ y potencia fraccionaria $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}}$. ## 4. Extracción de factores en radicales Regla general: separar factores cuya potencia interior alcanza el índice del radical. - Si $\sqrt{x^5y^3}$, separar potencias pares: $x^5 = x^{4} x = (x^2)^2 x$ y $y^3 = y^{2} y$. - Resultado: $\sqrt{x^5y^3} = x^2 y \sqrt{xy}$ (asumiendo $x,y\ge 0$). Tabla de patrones comunes: | Radicando | Índice | Factor extraíble | Resto bajo radical | | --- | ---: | --- | --- | | $x^5y^3$ | 2 | $x^2 y$ | $xy$ | | $\sqrt[3]{16x^6y^2}$ | 3 | $2x^2$ | $y^2$ (se puede extraer $y^{0}$ si no completo) | ### Ejemplo $$\sqrt{\frac{64m^{10}n^7}{125}}$$ 1) Separar: $64=8^2$, $m^{10}=(m^5)^2$, $n^7 = n^6 n = (n^3)^2 n$ y $125=5^3$. 2) Extraer cuadrados: $\frac{8 m^5 n^3}{5^{3/2}}\sqrt{n}$; mejor escribir: $\frac{8 m^5 n^3}{5\sqrt{5}}\sqrt{n}$ o racionalizar según convenga. ## 5. Simplificación y mínima expresión - Combinar términos semejantes: los radicales se suman/restan sólo si el radicando y el índice son iguales. - Convertir radicales a potencias para facilitar operaciones. Ejemplo: simplificar $4\sqrt{45}-2\sqrt{20}+3\sqrt{125}$: 1) Descomponer: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$. 2) S