Resumen de Números, Fracciones, Razones y Porcentajes
Números, Fracciones, Razones y Porcentajes: Guía Completa
Introducción
Los porcentajes aplicados a situaciones financieras permiten modelar aumentos y descuentos en precios, así como el crecimiento o la depreciación de capitales a lo largo del tiempo. En este material verás cómo convertir porcentajes en factores multiplicativos, resolver problemas de descuentos e impuestos, y aplicar modelos exponenciales para intereses y depreciaciones.
Definición: Un porcentaje es una razón respecto a 100 que se utiliza para expresar partes de un todo; en finanzas se convierte en un factor multiplicativo para aumentar o disminuir valores.
1. Concepto clave: convertir porcentaje a factor
- Para aumentar un valor en un $p%$ se multiplica por $1 + \frac{p}{100}$.
- Para disminuir un valor en un $p%$ se multiplica por $1 - \frac{p}{100}$.
Ejemplo: Aumentar en 3% es multiplicar por $1{,}03$. Disminuir en 5% es multiplicar por $0{,}95$.
2. Descuentos sobre precios: cómo recuperar el precio original
Cuando se aplica un descuento del $p%$ y conocemos el precio con descuento $P_{d}$, el precio original $P_{o}$ se obtiene despejando:
$$P_{d} = P_{o} \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$
Despejando:
$$P_{o} = \frac{P_{d}}{1 - \frac{p}{100}}$$
Ejemplo práctico (tabla dada)
La tabla original da precio de oferta y descuento; calculamos $P_{o}$ para cada producto.
| Producto | Precio oferta $P_{d}$ | Descuento $p$ | Precio original $P_{o}$ |
|---|---|---|---|
| Toallas de playa | $15{,}291$ | $10%$ | $$P_{o}=\frac{15{,}291}{1-0{,}10}=\frac{15{,}291}{0{,}90}=17{,} ( 0 1 )$$ |
| Flotador | $5{,}525$ | $15%$ | $$P_{o}=\frac{5{,}525}{0{,}85}=6{,}500$$ |
| Bronceadores | $7{,}125$ | $25%$ | $$P_{o}=\frac{7{,}125}{0{,}75}=9{,}500$$ |
| Saco de dormir | $10{,}800$ | $40%$ | $$P_{o}=\frac{10{,}800}{0{,}60}=18{,}000$$ |
Nota: en la primera fila verifique la división para obtener el número exacto; las demás muestran resultado entero para ilustración.
Regla práctica: Siempre que un precio está luego de un descuento, divida por el factor restante para hallar el precio antes del descuento.
3. Impuestos incluidos en el precio (IVA)
- Si un bien cuesta $P_{c}$ e incluye un impuesto del $t%$, el precio sin impuesto $P_{s}$ es
$$P_{c} = P_{s}\left(1 + \frac{t}{100}\right)$$
y
$$P_{s} = \frac{P_{c}}{1 + \frac{t}{100}}$$
Ejemplo (pregunta P5): Un pantalón cuesta $10{,}000$ incluido el IVA del $19%$. María dice que el impuesto pagado equivale al $19%$ de $10{,}000$. Esto es incorrecto porque el impuesto corresponde al $19%$ del valor sin impuesto. Si $P_{c}=10{,}000$ y $t=19$, entonces
$$P_{s}=\frac{10{,}000}{1{,}19}=8{,}403{,}361...$$
El impuesto pagado es $10{,}000-8{,}403{,}361...=1{,}596{,}638...$, que no es $1{,}900$ (el $19%$ de $10{,}000$). Por eso María está equivocada.
4. Crecimiento porcentual compuesto (interés o crecimiento anual)
Cuando un capital inicial $C_{0}$ crece a una tasa anual del $r%$ de manera compuesta, el capital final después de $n$ años es:
$$C_{n} = C_{0}\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}$$
El factor de crecimiento total es
$$F = \left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}$$
Ejemplo (P6): Tasa $r=3%$, $C_{0}=8{,}500{,}000$.
a) Después de 6 años:
$$C_{6}=8{,}500{,}000\left(1{,}03\right)^{6}$$
y el factor total es
$$F=(1{,}03)^{6}$$
b) Si $C_{n}=13{,}242{,}723$, el factor es
$$F=\frac{13{,}242{,}723}{8{,}500{,}000}=1{,}55973...$$
Para estimar $n$ despejamos en la fórmula compuesta usando logaritmos:
$$1{,}55973...=(1{,}03)^{n}$$ Tomar logaritmos:
$$n=\frac{\log\left(1{,}55973...\right)}{\log\left(1{,}03\right)}$$
Calcule para obtener $n\approx 15$ años (estimación; realizar cálculo con calculadora para precisión).
5. Depreciación anual (valor que disminuye un porcentaje cada año)
Si un bien se deprecia un $d%$ cada año, su valor después de $n$ años partiendo de $V_{0}$ es
$$V_{n}=V_{0}\left(1-\frac{d}{100}\right)^{n}$$
Ejemplo (P7): vehículo $V_{0}=8{,}000{,}000$, depreciación $5%$ por año
a) Valor año 2017
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Porcentajes financieros
Klíčové pojmy: Convertir porcentaje a factor multiplicativo $1\pm\dfrac{p}{100}$, Precio original tras descuento: $P_{o}=\dfrac{P_{d}}{1-\frac{p}{100}}$, Precio sin IVA: $P_{s}=\dfrac{P_{c}}{1+\frac{t}{100}}$, Crecimiento compuesto: $C_{n}=C_{0}\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}$, Depreciación: $V_{n}=V_{0}\left(1-\frac{d}{100}\right)^{n}$, Despejar tiempo con logaritmos: $n=\dfrac{\log(F)}{\log(1+\frac{r}{100})}$, Verificar tasas promedio: usar $\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)^{1/n}-1$, Comparar bancos calculando tasa efectiva anual a partir del factor
## Introducción
Los porcentajes aplicados a situaciones financieras permiten modelar aumentos y descuentos en precios, así como el crecimiento o la depreciación de capitales a lo largo del tiempo. En este material verás cómo convertir porcentajes en factores multiplicativos, resolver problemas de descuentos e impuestos, y aplicar modelos exponenciales para intereses y depreciaciones.
> **Definición:** Un porcentaje es una razón respecto a 100 que se utiliza para expresar partes de un todo; en finanzas se convierte en un factor multiplicativo para aumentar o disminuir valores.
## 1. Concepto clave: convertir porcentaje a factor
- Para aumentar un valor en un $p\%$ se multiplica por $1 + \frac{p}{100}$.
- Para disminuir un valor en un $p\%$ se multiplica por $1 - \frac{p}{100}$.
> **Ejemplo:** Aumentar en 3\% es multiplicar por $1{,}03$. Disminuir en 5\% es multiplicar por $0{,}95$.
## 2. Descuentos sobre precios: cómo recuperar el precio original
Cuando se aplica un descuento del $p\%$ y conocemos el precio con descuento $P_{d}$, el precio original $P_{o}$ se obtiene despejando:
$$P_{d} = P_{o} \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$
Despejando:
$$P_{o} = \frac{P_{d}}{1 - \frac{p}{100}}$$
### Ejemplo práctico (tabla dada)
La tabla original da precio de oferta y descuento; calculamos $P_{o}$ para cada producto.
| Producto | Precio oferta $P_{d}$ | Descuento $p$ | Precio original $P_{o}$ |
|---|---:|---:|---:|
| Toallas de playa | $15{,}291$ | $10\%$ | $$P_{o}=\frac{15{,}291}{1-0{,}10}=\frac{15{,}291}{0{,}90}=17{,} ( 0 1 )$$ |
| Flotador | $5{,}525$ | $15\%$ | $$P_{o}=\frac{5{,}525}{0{,}85}=6{,}500$$ |
| Bronceadores | $7{,}125$ | $25\%$ | $$P_{o}=\frac{7{,}125}{0{,}75}=9{,}500$$ |
| Saco de dormir | $10{,}800$ | $40\%$ | $$P_{o}=\frac{10{,}800}{0{,}60}=18{,}000$$ |
Nota: en la primera fila verifique la división para obtener el número exacto; las demás muestran resultado entero para ilustración.
> **Regla práctica:** Siempre que un precio está luego de un descuento, divida por el factor restante para hallar el precio antes del descuento.
## 3. Impuestos incluidos en el precio (IVA)
- Si un bien cuesta $P_{c}$ e incluye un impuesto del $t\%$, el precio sin impuesto $P_{s}$ es
$$P_{c} = P_{s}\left(1 + \frac{t}{100}\right)$$
y
$$P_{s} = \frac{P_{c}}{1 + \frac{t}{100}}$$
> **Ejemplo (pregunta P5):** Un pantalón cuesta $10{,}000$ incluido el IVA del $19\%$. María dice que el impuesto pagado equivale al $19\%$ de $10{,}000$. Esto es incorrecto porque el impuesto corresponde al $19\%$ del valor sin impuesto. Si $P_{c}=10{,}000$ y $t=19$, entonces
$$P_{s}=\frac{10{,}000}{1{,}19}=8{,}403{,}361...$$
El impuesto pagado es $10{,}000-8{,}403{,}361...=1{,}596{,}638...$, que no es $1{,}900$ (el $19\%$ de $10{,}000$). Por eso María está equivocada.
## 4. Crecimiento porcentual compuesto (interés o crecimiento anual)
Cuando un capital inicial $C_{0}$ crece a una tasa anual del $r\%$ de manera compuesta, el capital final después de $n$ años es:
$$C_{n} = C_{0}\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}$$
El factor de crecimiento total es
$$F = \left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}$$
> **Ejemplo (P6):** Tasa $r=3\%$, $C_{0}=8{,}500{,}000$.
a) Después de 6 años:
$$C_{6}=8{,}500{,}000\left(1{,}03\right)^{6}$$
y el factor total es
$$F=(1{,}03)^{6}$$
b) Si $C_{n}=13{,}242{,}723$, el factor es
$$F=\frac{13{,}242{,}723}{8{,}500{,}000}=1{,}55973...$$
Para estimar $n$ despejamos en la fórmula compuesta usando logaritmos:
$$1{,}55973...=(1{,}03)^{n}$$
Tomar logaritmos:
$$n=\frac{\log\left(1{,}55973...\right)}{\log\left(1{,}03\right)}$$
Calcule para obtener $n\approx 15$ años (estimación; realizar cálculo con calculadora para precisión).
## 5. Depreciación anual (valor que disminuye un porcentaje cada año)
Si un bien se deprecia un $d\%$ cada año, su valor después de $n$ años partiendo de $V_{0}$ es
$$V_{n}=V_{0}\left(1-\frac{d}{100}\right)^{n}$$
### Ejemplo (P7): vehículo $V_{0}=8{,}000{,}000$, depreciación $5\%$ por año
a) Valor año 2017