Resumen de Números Enteros y Operaciones

## Introducción Los números enteros incluyen los números naturales, el cero y los enteros negativos. Son útiles para representar temperaturas bajo cero, deudas, pisos de edificios y años antes de Cristo. En esta guía estudiarás su representación en la recta numérica, comparación, opuestos, módulo (valor absoluto) y las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con reglas de signos. ### ¿Qué son los números enteros? > El conjunto de los números enteros es $\{\ldots, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}$ y es infinito. ## Recta numérica y orden - Ubica el $0$ como punto de referencia. - A la derecha del $0$ están los enteros positivos: $1,2,3,\ldots$. - A la izquierda del $0$ están los enteros negativos: $-1,-2,-3,\ldots$. > El cero es un número entero sin signo que sirve de referencia en la recta numérica. Tabla comparativa: | Concepto | Posición en la recta | Ejemplo | | --- | --- | --- | | Entero positivo | Derecha de $0$ | $+5$ | | Entero negativo | Izquierda de $0$ | $-3$ | | Cero | Punto de referencia | $0$ | Reglas de comparación: - Un número ubicado más a la derecha es mayor. Por ejemplo $-2>-3$ y $0>-1$. Did you know que el conjunto de los enteros es denso en el sentido de que entre dos enteros consecutivos no hay otros enteros, pero la recta real entre ellos contiene infinitos números decimales? ## Números opuestos - El opuesto de un número cambia su signo: el opuesto de $4$ es $-4$, el opuesto de $-6$ es $6$. - Un número y su opuesto están a la misma distancia del $0$ en la recta numérica. > Opuesto: dado $a$, su opuesto es $-a$. Ejemplos: - Opuesto de $+9$ es $-9$. - Opuesto de $-7$ es $+7$. ## Módulo o valor absoluto - El módulo o valor absoluto de un número es la distancia al $0$ en la recta numérica. > Módulo: para cualquier entero $a$, el valor absoluto se escribe $\left|a\right|$ y es la distancia hasta $0$. Ejemplos: - $\left|5\right|=5$. - $\left|-3\right|=3$. - $\left|-4\right|=4$. Comparaciones con módulo: - $\left|-6\right|$ es igual que $\left|6\right|$ porque ambos son $6$. Fun fact: El valor absoluto aparece en muchas aplicaciones reales, por ejemplo en física para medir magnitudes como la distancia o la rapidez, donde sólo importa la magnitud y no la dirección. ## Suma y resta de enteros (reglas de signos) Reglas principales: - Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman los módulos y el resultado conserva ese signo. - Ejemplo: $+7 + +11 = +18$. - Si los sumandos tienen signos distintos, se resta el menor módulo del mayor módulo y el resultado lleva el signo del número con mayor módulo. - Ejemplo: $+5 + (-12) = -(12-5) = -7$. - Para restar, convertir a suma del opuesto: $a - b = a + (-b)$. Procedimiento para una suma algebraica larga: 1. Sumar todos los positivos: calcular $S_+$. 2. Sumar todos los negativos en módulo: calcular $S_-$. 3. Resultado $= S_+ - S_-$ con el signo del mayor. Ejemplo paso a paso: $$-6 + 2 - 3 + 8 + 4 - 9 + 1 - 7$$ Suma positivos: $2 + 8 + 4 + 1 = 15$. Suma módulos negativos: $6 + 3 + 9 + 7 = 25$. Resultado: $15 - 25 = -10$. ## Multiplicación y división de enteros (reglas de signos) Reglas: - Producto o cociente de dos números con igual signo es positivo. - Ejemplo: $(-9)\cdot(-3)=+27$, $18:(+3)=+6$. - Producto o cociente de dos números con distinto signo es negativo. - Ejemplo: $(+5)\cdot(-7)=-35$, $18:(-3)=-6$. Propiedades útiles: - Conmutativa: $a\cdot b = b\cdot a$. - Asociativa: $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$. Did you know que cuando multiplicas por $0$ siempre obtienes $0$, independientemente del signo de los factores? ## Eliminar paréntesis (signos frente a paréntesis) - Si hay un $+$ delante, se suprimen los paréntesis sin cambiar signos: - $15 + (3 - 7) = 15 + 3 - 7$. - Si hay un $-$ delante, al suprimir los paréntesis cambian de signo los términos dentro: - $15 - (3 - 7) = 15 - 3 + 7$. ## Aplicaciones prácticas y problemas tipo 1) Temperaturas: representar $-8$, $0$, $5$ en la recta, calcular amplitud térmica c