Resumen de Modelos de Oligopolio y Competencia Imperfecta

## Introducción Los cárteles son acuerdos entre empresas competidoras para coordinar precios o cantidades con el fin de aumentar beneficios conjuntos. En este material veremos cómo se resuelve el problema del cártel cuando las empresas deciden cooperar sobre cantidades (modelo de maximización conjunta), qué condiciones hacen sostenible el cártel y un ejemplo aplicado con demanda y costos concretos. > Definición: Un cártel es un acuerdo explícito entre empresas de un mismo mercado para fijar precios o cantidades y repartir el mercado con el fin de maximizar beneficios conjuntos. ## Planteamiento del problema del cártel (dos empresas) Consideramos dos empresas idénticas que producen cantidades $q_i$ y $q_j$. La demanda inversa del mercado es lineal y el precio depende de la cantidad agregada $Q=q_i+q_j$. ### Ingresos y beneficios de cada empresa - Precio: $P(Q)=a-bQ$. - Ingresos totales de la empresa $i$: $$IT_i=P(Q)\,q_i=(a-b(q_i+q_j))\,q_i$$ Desarrollando: $$IT_i=aq_i-bq_i^2-bq_iq_j$$ - Costos totales de la empresa $i$: asumimos $CT_i=c\,q_i$ (costos lineales). - Beneficio de la empresa $i$: $$\pi_i=IT_i-CT_i=aq_i-bq_i^2-bq_iq_j-cq_i$$ Que puede reorganizarse como: $$\pi_i=(a-c)q_i-bq_i^2-bq_iq_j$$ > Definición: Beneficio conjunto del cártel es la suma de los beneficios de todas las empresas que lo forman: $\pi=\pi_i+\pi_j$. ### Maximización conjunta del cártel El cártel elige $(q_i,q_j)$ para maximizar el beneficio agregado $$\pi=(a-c)(q_i+q_j)-b(q_i^2+q_j^2)-2bq_iq_j$$ Es conveniente escribirlo en términos de la suma $Q=q_i+q_j$: $$\pi=(a-c)Q-b\,Q^2$$ Por tanto la maximización respecto de $Q$ da la condición $$\frac{d\pi}{dQ}=a-c-2bQ=0$$ y la cantidad agregada óptima del cártel es $$Q^*=\frac{a-c}{2b}$$ Si las empresas son idénticas, en el óptimo cada una produce la misma cantidad: $$q_i^*=q_j^*=\frac{Q^*}{2}=\frac{a-c}{4b}$$ ### Precio y beneficios en el equilibrio del cártel - Precio de equilibrio: $$P^*=a-bQ^*=a-b\frac{a-c}{2b}=\frac{a+c}{2}$$ - Beneficio por empresa: sustituimos $q_i^*$ y $P^*$ $$\pi_i^*=P^*\,q_i^*-c\,q_i^*=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{a-c}{4b}-c\cdot\frac{a-c}{4b}=\frac{(a-c)^2}{8b}$$ - Beneficio agregado del cártel: $$\pi^*=2\cdot\frac{(a-c)^2}{8b}=\frac{(a-c)^2}{4b}$$ > Observación: La cantidad agregada y el precio que resulta del cártel coinciden con los del monopolio que maximiza beneficios para toda la industria. ## Condiciones de sostenibilidad del cártel Aunque el cártel maximiza beneficios conjuntos, ese resultado generalmente no es un Equilibrio de Nash en estrategias puras porque cada empresa tiene incentivo a desviarse (producir más o reducir precio) para aumentar su beneficio individual. Para que un cártel funcione se requieren mecanismos que desincentiven la desviación: - Repetición indefinida del juego (castigos futuros creíbles). Si el juego es infinito, la amenaza de castigos puede sostener cooperación. - Existencia de múltiples equilibrios de Nash que permitan castigos creíbles (p. ej., un equilibrio castigo y uno cooperativo sostenido por la repetición). > Definición: Un equilibrio sostenido mediante castigos es creíble si el castigo es implementable como un equilibrio de Nash del sub-juego que sigue a la desviación. ## Ejemplo numérico (ejercicio planteado) Demanda inversa: $$P(Q)=4000-400Q$$ Costo total de cada empresa: $$CT(q)=200q$$ Dos empresas idénticas forman un cártel. 1) Cantidades y precio del cártel - Parâmetros: $a=4000$, $b=400$, $c=200$. - Cantidad agregada óptima del cártel: $$Q^*=\frac{a-c}{2b}=\frac{4000-200}{2\cdot400}=\frac{3800}{800}=4.75$$ - Cantidad por empresa: $$q_i^*=q_j^*=\frac{Q^*}{2}=2.375$$ - Precio de equilibrio: $$P^*=a-bQ^*=4000-400\cdot4.75=4000-1900=2100$$ 2) Beneficios - Beneficio por empresa: $$\pi_i^*=P^*\,q_i^*-c\,q_i^*=2100\cdot2.375-200\cdot2.375= (2100-200)\cdot2.375=1900\cdot2.375=4512.5$$ - Beneficio agregado: $$\pi^*=2\cdot4512.5=9025$$ > Did you know que la cantidad agregada y el precio del cártel coinciden con los que obtendría un