Test sobre Matrices: Conceptos Fundamentales y Operaciones

Pregunta 1: Una matriz diagonal es simultáneamente una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior.

A. Sí

B. No

Explicación: Las matrices diagonales son, por definición, matrices cuadradas que tienen ceros en los elementos donde i>j (triangular superior) y también ceros en los elementos donde i<j (triangular inferior). Por lo tanto, cumplen las condiciones de ambas.

Pregunta 2: Permutar (intercambiar) las columnas i y j de una matriz es una operación elemental en los renglones de la matriz.

A. Sí

B. No

Explicación: Las operaciones elementales en los renglones (las filas) de una matriz son: multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero, sumar un múltiplo del renglón i al renglón j, y permutar (intercambiar) los renglones i y j. No se menciona la permuta de columnas.

Pregunta 3: ¿Cuál de las siguientes propiedades sobre matrices inversibles es correcta?

A. (A⁻¹)ᵗ = (Aᵗ)⁻¹

B. (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹

C. Si una matriz A es invertible, su inversa no es única

D. (kA)⁻¹ = kA⁻¹ para k ≠ 0

Explicación: La propiedad establece que (A⁻¹)ᵗ = (Aᵗ)⁻¹. Las demás opciones son incorrectas según el material de estudio. La propiedad para la inversa de un producto es (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, no A⁻¹B⁻¹. El teorema establece que si A es invertible, su inversa es única. La propiedad para la inversa de una matriz multiplicada por un escalar es (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹, no kA⁻¹.

Pregunta 4: ¿Cuál de las siguientes matrices está en forma escalonada reducida por renglones?

A. A = 1 2 0 0 0 1

B. B = 1 3 0 1 0 0

C. M = 1 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 1

D. H = 1 π e 0 1 0 0 0 1

Explicación: Una matriz escalonada reducida por renglones cumple las condiciones de una matriz escalonada y, además, en la columna que hay un 1 pivote, los demás elementos son ceros. Según los ejemplos provistos, las matrices A y M son ejemplos de matrices escalonadas reducidas. Las matrices B y H son ejemplos de matrices escalonadas, pero no escalonadas reducidas.

Pregunta 5: Toda matriz cuadrada siempre tiene una matriz inversa.

A. Sí

B. No

Explicación: La información proporcionada en el material de estudio establece claramente que "No siempre existe la matriz inversa de otra".