Resumen de Matrices: Conceptos Fundamentales y Operaciones

## Introducción Las matrices son arreglos rectangulares de números que resumen y organizan información lineal. Se usan en álgebra lineal para representar sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales, datos en ciencias e ingeniería, redes y modelos computacionales. En este material repasaremos definiciones, tipos, operaciones básicas, matrices invertibles y métodos prácticos como eliminación por Gauss-Jordan. > **Definición:** Sea $m,n\in\mathbb{N}$. Una matriz $A$ de orden $m\times n$ es un arreglo rectangular de escalares $a_{ij}$ con $i=1,\dots,m$ y $j=1,\dots,n$. ### Notación - Una matriz $A$ se escribe habitualmente como $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$$ - El elemento en fila $i$, columna $j$ es $a_{ij}$. ## Tipos de matrices (conceptos básicos) - **Orden (tamaño):** una matriz con $m$ renglones y $n$ columnas es de orden $m\times n$. - **Matriz fila:** orden $1\times n$. - **Matriz columna:** orden $m\times 1$. - **Matriz cuadrada:** orden $n\times n$ (cuando $m=n$). > **Definición (Matriz nula):** La matriz nula $O$ satisface $a_{ij}=0$ para todo $i,j$. > **Definición (Matriz identidad):** La matriz identidad $I_n$ es la matriz cuadrada con $1$ en la diagonal principal y $0$ en los demás elementos, es decir $$ (I_n)_{ij}=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j\end{cases} .$$ ## Componentes importantes en matrices cuadradas - **Diagonal principal:** elementos con $i=j$. - **Traza:** para $A$ de orden $n$, $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Ejemplo: si $$E=\begin{pmatrix}6&3&4\\\pi&5&0\\7&-1&8\end{pmatrix}$$ entonces $\operatorname{tr}(E)=6+5+8=19$. ## Tipos especiales de matrices (comparación) | Tipo | Condición | Ejemplo | Observación | |---|---|---:|---| | Triangular superior | $a_{ij}=0$ para $i>j$ | $\begin{pmatrix}9&1\\0&3\end{pmatrix}$ | Útil en factorizaciones (LU) | | Triangular inferior | $a_{ij}=0$ para $i<j$ | $\begin{pmatrix}9&0\\2&1\end{pmatrix}$ | Similarmente útil | | Diagonal | $a_{ij}=0$ para $i\ne j$ | $\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ | Es triangular superior e inferior | | Escalar | $\lambda I$ | $\lambda\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | Todas las entradas fuera de la diagonal son 0 | | Simétrica | $A^t=A$ | $\begin{pmatrix}7&3\\3&8\end{pmatrix}$ | aparece en bilineales y autovalores | | Antisimétrica | $A^t=-A$ | $\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ | traza es $0$ cuando es de orden impar | Did you know que las matrices simétricas reales tienen autovalores reales y autovectores ortogonales? ## Igualdad y operaciones básicas > **Definición (Igualdad):** $A=B$ si tienen el mismo orden y $a_{ij}=b_{ij}$ para todo $i,j$. Operaciones entre matrices del mismo orden $m\times n$: - **Suma:** $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. - **Resta:** similar a la suma con resta de entradas. - **Multiplicación por escalar:** $(cA)_{ij}=c\,a_{ij}$. - **Producto (caso cuadrado o compatible):** Si $A$ es $m\times p$ y $B$ es $p\times n$, entonces $AB$ es $m\times n$ con $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.$$ Fun fact: la multiplicación de matrices no es conmutativa en general; es decir, en general $AB\ne BA$. ## Operaciones elementales por renglones Las operaciones elementales sobre filas preservan el espacio de soluciones de sistemas y se usan para triangular o reducir matrices: - Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero. - Sumar a una fila un múltiplo de otra fila. - Intercambiar dos filas. Estas operaciones se emplean para llevar una matriz a forma escalonada o escalonada reducida por renglones. > **Definición (Forma escalonada por renglones):** Una matriz está en forma escalonada si: > - Las filas nulas (si existen) están abajo. > - Cada fila no nula tiene su primer elemento no nulo (pivote) a la derecha del pivote de la fila anterior. > - Los pivotes son 1 (en la forma escalonada reducida) y debajo de cada pivote hay ceros. > **Definición (Forma escalonada red