Resumen de Matemáticas: Proporcionalidad, Porcentajes y Ecuaciones

## Introducción El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las expresiones simbólicas y las reglas para manipularlas. En este material revisaremos técnicas para eliminar paréntesis, simplificar expresiones, sumar y restar polinomios, y aplicar estas operaciones en problemas contextuales. Aprenderás a usar la notación algebraica de manera precisa y a interpretar resultados simbólicos en problemas aplicados. > Definición: El álgebra trabaja con **variables** (símbolos que representan números) y **operaciones algebraicas** (suma, resta, producto, división y potencias) para construir expresiones y ecuaciones. ## Conceptos básicos ### 1. Términos semejantes y coeficientes - Un término es una combinación de números y variables multiplicadas, por ejemplo $3x^2y$. - Términos semejantes tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias, por ejemplo $5x^2y$ y $-2x^2y$. - Para simplificar, se suman sus coeficientes: $5x^2y-2x^2y=3x^2y$. ### 2. Eliminar paréntesis - Regla: multiplicar cada término dentro del paréntesis por el signo o factor que lo precede. - Si hay un signo negativo delante, se cambian los signos dentro. Ejemplos: - $$(a+b)+(a-b)=a+b+a-b$$ Simplificando: $$=2a$$ - $$(a-b)-(a+b)=a-b-a-b$$ Simplificando: $$=-2b$$ ### 3. Uso de distributiva y productos - Distributiva: $$k(left( a+b ight))=ka+kb$$ - Productos de polinomios se obtienen multiplicando cada término por cada término. Ejemplo: - $$(2p-4)(2p+7)$$ Multiplicamos: $$=2p\cdot 2p+2p\cdot 7-4\cdot 2p-4\cdot 7$$ $$=4p^2+14p-8p-28$$ Simplificando: $$=4p^2+6p-28$$ > Definición: La propiedad distributiva permite convertir un producto de suma en suma de productos: $$a(b+c)=ab+ac$$. ## Operaciones con polinomios y signos confusos - Cuando aparecen llaves o signos negativos anidados, primero simplificar el grupo interior. - Ejemplo de atención a paréntesis: si aparece $-\{ -p^2-3x\}-7p^2$, primero resolvemos la llave interior: $-p^2-3x$, ante el signo negativo exterior se cambia de signo: $p^2+3x$, luego restar $7p^2$ da $$p^2+3x-7p^2=-6p^2+3x$$ ## Aplicación: problemas del enunciado (procedimiento y simplificación) A continuación se muestra cómo traducir y simplificar expresiones dadas en problemas tipo laboratorio y estudios. 1) Tiempo total para perfiles hematológicos por semana - Cantidad de exámenes: $$(5x^2+2y^2-3xy)(x-y)$$ - Tiempo por examen: $$-2xy$$ - Tiempo total (multiplicar cantidad por tiempo por examen): $$T_{hemo}=(5x^2+2y^2-3xy)(x-y)(-2xy)$$ Si se desea, desarrollar paso a paso: $$ (5x^2+2y^2-3xy)(x-y)=5x^2(x-y)+2y^2(x-y)-3xy(x-y)$$ $$=5x^3-5x^2y+2xy^2-2y^3-3x^2y+3xy^2$$ $$=5x^3-8x^2y+5xy^2-2y^3$$ Multiplicando por $-2xy$: $$T_{hemo}=-2xy\left(5x^3-8x^2y+5xy^2-2y^3\right)$$ $$=-10x^4y+16x^3y^2-10x^2y^3+4xy^4$$ 2) Tiempo total para análisis microbiológicos por semana - Cantidad de exámenes: $$-(3y+2xy^2)$$ - Tiempo por examen: $$(y^2-5xy)$$ - Tiempo total: $$T_{micro}=-(3y+2xy^2)(y^2-5xy)$$ Desarrollando: $$(3y+2xy^2)(y^2-5xy)=3y\cdot y^2-15xy^2+2xy^2\cdot y^2-10x^2y^3$$ Ordenando: $$=3y^3-15xy^2+2xy^4-10x^2y^3$$ Con el signo negativo inicial: $$T_{micro}=-3y^3+15xy^2-2xy^4+10x^2y^3$$ 3) Tiempo total de todos los exámenes del laboratorio en la semana - Sumar ambos tiempos: $$T_{total}=T_{hemo}+T_{micro}$$ Sustituir las expresiones simplificadas obtenidas arriba: $$T_{total}=(-10x^4y+16x^3y^2-10x^2y^3+4xy^4)+(-3y^3+15xy^2-2xy^4+10x^2y^3)$$ Simplificar combinando términos semejantes: $$T_{total}=-10x^4y+16x^3y^2+0x^2y^3+(4xy^4-2xy^4)+15xy^2-3y^3$$ $$T_{total}=-10x^4y+16x^3y^2+0+2xy^4+15xy^2-3y^3$$ $$T_{total}=-10x^4y+16x^3y^2+15xy^2+2xy^4-3y^3$$ 4) Cambio en la segunda semana en cantidad de perfiles hematológicos - Aumento: $$10xy^2-x^2y+2y^3$$ - Cantidad original de perfiles hematológicos: $$(5x^2+2y^2-3xy)(x-y)$$ - Nueva cantidad: sumar ambas expresiones: $$N_{hemo}= (5x^2+2y^2-3xy)(x-y)+\left(10xy^2-x^2y+2y^3\right)$$ Se puede simplificar usando la expansión previa de la cantidad original: