Test sobre Límites e Infinitésimos en Análisis Matemático

Pregunta 1: En el ejemplo del Teorema, la función $y = x^2$ es un infinitésimo cuando $x \to \infty$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El ejemplo del Teorema establece específicamente que la función $y = \frac{1}{x}$ es un infinitésimo cuando $x \to \infty$. Además, una función es infinitésimo cuando $x \to \infty$ si su límite es 0, y $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$, por lo que $y=x^2$ no es un infinitésimo en ese caso.

Pregunta 2: La suma de un número ilimitado de infinitésimos es siempre otro infinitésimo.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La propiedad establece que la suma de un número *finito* de infinitésimos es otro infinitésimo. El material no indica que esta propiedad sea válida para un número ilimitado o infinito de ellos.

Pregunta 3: ¿Cuál es el resultado del producto de un infinitésimo por una variable finita o una constante, según las propiedades de los infinitésimos?

A. Una función cuyo límite es una constante diferente de cero

B. Otro infinitésimo

C. Una función que tiende a infinito

D. Una función que es indeterminada en su límite

Explicación: Según la propiedad b) de los infinitésimos, 'El producto de un infinitésimo por una constante o variable finita, es un infinitésimo'. Matemáticamente, si beta es un infinitésimo (lim beta = 0) y x es una variable finita (lim x = N ≠ infinito), entonces lim (beta . x) = 0 . N = 0, lo que define a beta . x como otro infinitésimo.

Pregunta 4: ¿Según el criterio de comparación de infinitésimos, ¿cuál es la condición para que dos infinitésimos $\alpha(x)$ y $\beta(x)$ sean considerados equivalentes cuando $x \to a$?

A. Cuando el límite de su cociente, $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$, es igual a 0.

B. Cuando el límite de su cociente, $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$, es igual a 1.

C. Cuando el límite de su cociente, $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$, es un número real $A \neq 0$.

D. Cuando el límite de su cociente, $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$, es $\infty$.

Explicación: De acuerdo con la tabla de "Comparación de Infinitésimos", dos funciones $\alpha(x)$ y $\beta(x)$ son infinitésimos equivalentes si el límite de su cociente, $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$, es igual a 1.

Pregunta 5: Los límites de funciones que no se ajustan a las reglas estudiadas hasta el momento se denominan "Límites Notables".

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el material de estudio, los límites de funciones que no se ajustan a las reglas estudiadas hasta el momento se denominan "Límites Notables".