Resumen de Límites e Infinitésimos en Análisis Matemático

## Introducción El cálculo de límites es una herramienta fundamental en el análisis matemático que permite describir el comportamiento de una función cuando la variable se acerca a un punto o tiende a infinito. En este material veremos métodos y límites notables que facilitan el cálculo de límites frecuentes y sus aplicaciones prácticas. > **Definición:** Un límite describe el valor al que se acerca una función $f(x)$ cuando $x$ tiende a un punto $a$ o a infinito, escrito $\lim_{x \to a} f(x)$ o $\lim_{x \to \infty} f(x)$. ## 1. Estrategia general para calcular límites - Simplificar la expresión algebraicamente. - Identificar formas indeterminadas y aplicar técnicas adecuadas: factorización, racionalización, cambio de variable, límites notables o el teorema de la compresión. - Comprobar condiciones de existencia: límites laterales y comportamiento en el dominio. ### 1.1 Pasos prácticos 1. Sustituir el valor si es posible y obtener un número real: ese es el límite. 2. Si aparece una forma indeterminada, elegir método: factor común, conjugado, series de Taylor (si procede), límites notables, o el teorema de la compresión. 3. Verificar el resultado con un análisis de signo o límites laterales si es necesario. ## 2. Límites notables y equivalencias (uso práctico) > **Definición:** Un límite notable es una expresión cuyo límite está estandarizado y se usa para comparar funciones que tienen comportamiento similar cuando la variable tiende a un punto. Tabla de equivalencias útiles (comparaciones para reemplazo cuando son aplicables): | Caso | Equivalencia cuando $x \to 0$ | Equivalencia cuando $x \to \infty$ | | --- | --- | --- | | lineal seno/tangente | $\sin x \approx x$ , $\tan x \approx x$ | $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$ , $\tan\left(\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$ | | arcoseno/arctan | $\arcsin x \approx x$, $\arctan x \approx x$ | $\arcsin\left(\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$ , $\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$ | | coseno | $1-\cos x \approx \dfrac{x^2}{2}$ | $1-\cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{2x^2}$ | | exponencial/log | $a^{x}-1 \approx (x)\ln a$ cuando $x\to 0$ | $a^{1/x}-1 \approx \dfrac{\ln a}{x}$ cuando $x\to \infty$ | | logaritmo | $\ln(1+x) \approx x$ | $\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$ | | formas tipo $(1+u)^{1/u}$ | $(1+ax)^{1/(ax)} \to e$ cuando $x\to 0$ | $\left(1+\dfrac{1}{ax}\right)^{ax} \to e$ cuando $x\to \infty$ | > **Nota:** La notación $f(x)\approx g(x)$ cuando $x\to a$ significa $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$. Fun fact: El número $e$ aparece como límite de expresiones del tipo $(1+\frac{1}{n})^{n}$ y también gobierna muchos modelos de crecimiento continuo en economía y biología. ## 3. Límite fundamental del seno > **Límite notable:** $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Demostración esquemática usando el teorema de la compresión: - Para $x$ en $(0,\frac{\pi}{2})$ se tiene $\sin x < x < \tan x$. - De ahí se deriva $1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x$. - Tomando límites cuando $x\to 0$ resulta $1 \geq \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} \geq 1$, por lo que el límite es $1$. Ejemplo práctico: Calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$. Usamos equivalencia: $\sin(3x) \approx 3x$, luego $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{3x}{x} = 3$$ ## 4. Límite de la tangente > **Límite notable:** $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$. Ejemplo: $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x}{x} = 2$$ ## 5. Límite exponencial clásico > **Límite notable:** $\lim_{x \to 0} \left(1+ax\right)^{1/(ax)} = e$ para $a\neq 0$. Aplicación práctica: Calcular $\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$. Sea $y$ ese límite. Entonces $$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right).$$ Haciendo el cambio $t=\dfrac{1}{x}$, $t\to 0^{+}$, y usando $\ln(1+t)\approx t$ se obtiene $\ln y = 1$, luego $y=e$. ## 6. Teorema de la compresión (sandwich) > **Teorema:*