Límites e Infinitésimos: Guía Completa de Análisis Matemático
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Pregunta: ¿Qué significa que una función y = f(x) sea infinitésima cuando x → a (o x → ∞)?
Respuesta: Significa que lim_{x→a} f(x)=0 (o lim_{x→∞} f(x)=0). Toda función que tiende a cero en un punto se llama infinitésimo.
Pregunta: Enunciá el teorema que relaciona una función con límite y un infinitésimo.
Respuesta: Si f(x) puede escribirse como L + a(x), donde L es un número real y a(x) es un infinitésimo cuando x→a (o x→∞), entonces lim f(x)=L.
Pregunta: Dá un ejemplo que ilustre el teorema de función con límite igual a L más un infinitésimo.
Respuesta: Si lim_{x→∞} f(x)=1, se puede escribir f(x)=1+1/x, porque 1/x es un infinitésimo cuando x→∞.
Pregunta: ¿Qué propiedades tiene la suma de infinitésimos?
Respuesta: La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo (si lim φ=0, lim β=0, lim α=0 entonces lim(φ+β+α)=0).
Pregunta: ¿Qué sucede si multiplicás un infinitésimo por una constante o por una variable de límite finito?
Respuesta: El producto es un infinitésimo. Si α=β·x con lim β=0 y lim x=N≠∞, entonces lim α=0·N=0.
Pregunta: ¿Qué ocurre al dividir un infinitésimo por una constante o variable no nula (de límite N≠0)?
Respuesta: El cociente es un infinitésimo: si α=β/x con lim β=0 y lim x=N≠0, entonces lim α=0/N=0.
Pregunta: ¿Cuál es el objetivo de comparar infinitésimos?
Respuesta: Determinar si uno se aproxima a cero más rápido que otro (es decir, comparar órdenes de pequeñez cuando x→a o x→∞).
Pregunta: ¿Cómo se comparan dos infinitésimos α(x) y β(x)?
Respuesta: Se toma el límite del cociente lim_{x→a} β(x)/α(x) (o cuando x→∞) y se interpreta el resultado para determinar el orden relativo.
Pregunta: Si lim_{x→a} β(x)/α(x)=A con A finito y distinto de 0, ¿qué significa?
Respuesta: Significa que α y β son infinitésimos del mismo orden (equivalentes si A=1).
Pregunta: Si lim_{x→a} β(x)/α(x)=0, ¿qué interpretación tiene?
Respuesta: β es un infinitésimo de orden superior respecto de α (β tiende a cero más rápido que α).