Test sobre Límites e Infinitésimos: Conceptos Fundamentales

Pregunta 1: Cuando x tiende a 0, ¿es la función ln(1 + x) un infinitésimo equivalente a x?

A. Sí

B. No

Explicación: Dos infinitésimos son equivalentes si el límite de su cociente es 1. La tabla de infinitésimos equivalentes para x 0 establece que ln(1 + x) es equivalente a x.

Pregunta 2: Según el material de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones define correctamente un infinitésimo?

A. Una función es un infinitésimo si su límite tiende a un número real distinto de cero.

B. Una función y = f(x) es infinitamente pequeña o infinitésimo cuando x → a (o x → ∞) si y solo si el límite de f(x) es cero.

C. Una función es un infinitésimo si puede expresarse como la suma de un número real L y una función alfa.

D. Una función se denomina infinitésimo si su límite es infinito cuando x se acerca a un valor específico.

Explicación: El material de estudio establece claramente en la sección 'LIMITES - INFINITÉSIMOS Definición' que 'Diremos que una función y = f(x) es infinitamente pequeña, infinitesimal o infinitésimo cuando x → a (o bien cuando x → ∞) si y solo si lím f(x) = 0'. Las otras opciones presentan interpretaciones incorrectas o describen conceptos relacionados pero no la definición directa de un infinitésimo.

Pregunta 3: Para aplicar el Teorema de la compresión, el intervalo $I$ no necesita contener al punto $a$.

A. Sí

B. No

Explicación: El Teorema de la compresión establece que el intervalo $I$ debe contener al punto $a$.

Pregunta 4: Según el Teorema de la compresión, la única condición necesaria para que el límite de f(x) cuando x tiende a 'a' sea L es que los límites de g(x) y h(x) cuando x tiende a 'a' sean ambos iguales a L.

A. Sí

B. No

Explicación: El teorema establece que para que el límite de f(x) sea L, además de que los límites de g(x) y h(x) sean L, también es necesario que g(x) <= f(x) <= h(x) en el intervalo I (excepto quizás en a).

Pregunta 5: Según el Teorema de la Compresión, si tenemos tres funciones f, g y h definidas en un intervalo I que contiene al punto a (excepto quizás en a), ¿cuáles de las siguientes condiciones son necesarias para concluir que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L?

A. Para todo x en I y diferente de a, se cumple g(x) D f(x) D h(x), y además limx→a g(x) = limx→a h(x) = L.

B. Para todo x en I y diferente de a, se cumple f(x) D g(x) D h(x), y además limx→a g(x) = limx→a h(x) = L.

C. Para todo x en I y diferente de a, se cumple g(x) D f(x) D h(x), pero los límites de g(x) y h(x) cuando x tiende a a pueden ser diferentes.

D. La función f(x) debe ser continua en el punto a.

Explicación: El Teorema de la Compresión establece que si para todo x en un intervalo I (diferente de a) se tiene g(x) D f(x) D h(x), y si los límites de g(x) y h(x) cuando x tiende a a son ambos iguales a L, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a también será L. La opción 0 describe correctamente ambas condiciones esenciales del teorema.