Resumen de Límites e Infinitésimos: Conceptos Fundamentales

## Introducción Los límites son una herramienta fundamental del análisis que describen el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor dado o tiende a infinito. Entender límites permite definir continuidad, derivadas e integrales, y resolver expresiones cuyo valor directo no está bien definido. > **Definición:** Diremos que una función $f(x)$ es infinitésimo cuando $x \to a$ (o $x \to \infty$) si y solo si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ (o $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$). ## Conceptos básicos ### 1. Tipos de límites - Límite finito cuando $x \to a$: $\lim_{x \to a} f(x)$ - Límite en el infinito: $\lim_{x \to \infty} f(x)$ - Límite por la izquierda y por la derecha: $\lim_{x \to a^-} f(x)$, $\lim_{x \to a^+} f(x)$ ### 2. Comportamiento y reescritura - Cualquier función que tienda a un número real $L$ puede escribirse como $f(x) = L + \alpha(x)$ donde $\alpha(x)$ es un infinitésimo cuando $x$ se aproxima al punto considerado. Esto ayuda a separar el valor dominante y la pequeña perturbación. > **Definición:** Sea $L$ un número real y $\alpha(x)$ con $\lim_{x \to a} \alpha(x)=0$. Entonces toda función con límite $L$ puede expresarse como $f(x)=L+\alpha(x)$. ## Límites notables (valores estándar útiles) Estos límites aparecen frecuentemente y es práctico recordarlos para simplificar cálculos. - Seno y tangente cerca de cero: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin(ax)} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\tan(ax)} = 1$$ Donde $a$ es una constante. - Exponencial tipo $1^{\infty}$: $$\lim_{x \to 0} \left(1 + ax\right)^{\frac{1}{ax}} = e$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{ax}\right)^{ax} = e$$ Fun fact: El número $e$ aparece naturalmente al estudiar límites de la forma $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ y en muchos procesos de crecimiento continuo. ## Infinitésimos: comparación y órdenes Dos funciones $\alpha(x)$ y $\beta(x)$ que tienden a cero cuando $x \to a$ se comparan mediante el cociente $$\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}.$$ Dependiendo del valor obtenido se clasifican: | Resultado del límite | Interpretación | Ejemplo | | --- | --- | --- | | $A\in\mathbb{R}$, $A\neq 0$ | Mismo orden | $\alpha=\tan x$, $\beta=2x$ en $x=0$ | | $0$ | $\beta$ es de orden superior (tiende a 0 más rápido) | $\alpha=x$, $\beta=x^3$ en $x=0$ | | $\infty$ | $\beta$ es de orden inferior (tiende a 0 más lento) | $\alpha=x^5$, $\beta=x^3$ en $x=0$ | | $1$ | Infinitésimos equivalentes | $\sin(3x)\sim 3x$ en $x=0$ | > **Definición:** Decimos que $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes cuando $x\to a$ si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$. Escribimos $f\approx g$ cuando $x\to a$. ### Tabla: equivalencias útiles (casos típicos) | Caso $x\to 0$ | Equivalente | | --- | --- | | $\sin x$ | $x$ | | $\tan x$ | $x$ | | $\arcsin x$ | $x$ | | $1-\cos x$ | $\frac{x^2}{2}$ | | $\ln(1+x)$ | $x$ | | $a^x-1$ | $x\ln a$ | | Caso $x\to \infty$ | Equivalente | | --- | --- | | $\sin\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ | | $\tan\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ | | $1-\cos\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{2x^2}$ | | $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ | $\frac{1}{x}$ | | $\left(1+\frac{a}{x}\right)^x-1$ | $\frac{ax}{x}=a$ aproximadamente para grandes $x$ | Did you know that many simplificaciones en límites usan equivalencias como $\sin x\approx x$ para convertir expresiones complicadas en polinomios fáciles de manipular? ## Propiedades de los infinitésimos - Suma finita de infinitésimos es infinitésimo: si $\varphi,\beta,\alpha \to 0$ entonces $\varphi+\beta+\alpha \to 0$. - Producto por constante o por una variable con límite finito: si $\lim \beta=0$ y $\lim x=N\neq\infty$ entonces $\beta\cdot x \to 0$. - Cociente por constante no nula: si $\lim \beta=0$ y $\lim x=N\neq 0$ entonces $\beta/x \to 0$. ## Ejemplos prácticos resueltos 1) Usando equivalencias reglas: Calcular $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$. $$\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{