Límites e Infinitésimos: Guía Fundamental y Ejemplos Prácticos
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Pregunta: ¿Qué son los "límites notables" en el estudio de límites?
Respuesta: Son límites cuyo valor ya está determinado y se usan como referencia para calcular otros límites de características similares.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de lim_{x→0} (sin(ax))/(ax) y qué tipo de indeterminación presenta?
Respuesta: El límite vale 1 y presenta una indeterminación 0/0.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de lim_{x→0} (ax)/sin(ax) y qué indeterminación corresponde?
Respuesta: El límite vale 1 y corresponde a la indeterminación 0/0.
Pregunta: ¿Qué límite notable es válido para la tangente cuando x→0?
Respuesta: lim_{x→0} (tan(ax))/(ax)=1 (indeterminación 0/0). También (ax)/tan(ax)→1.
Pregunta: ¿Cuál es el comportamiento del cociente sin x / x cuando x tiende a 0, según la desigualdad entre sen x, x y tan x?
Respuesta: Usando sen x < x < tan x se obtiene 1 ≥ lim_{x→0} (sen x)/x ≥ lim_{x→0} cos x = 1, por lo que lim_{x→0} (sen x)/x = 1.
Pregunta: ¿Cómo se demuestra que lim_{x→0} tan x / x = 1 usando desigualdades?
Respuesta: Partiendo de sen x < x < tan x y manipulando recíprocos y multiplicando por tan x se llega a 1 ≤ lim_{x→0} tan x / x ≤ lim_{x→0} 1/cos x = 1, por tant
Pregunta: ¿Cuál es el valor del límite lim_{x→∞} (1 + 1/x)^x y qué forma indeterminada corresponde?
Respuesta: El límite vale e y corresponde a la forma indeterminada 1^∞.
Pregunta: Resume la demostración básica de lim_{x→∞} (1 + 1/x)^x = e dada en el contenido.
Respuesta: Sea y = lim_{x→∞} (1+1/x)^x. Tomando ln: ln y = lim x ln(1+1/x). Cambiando t=1/x (t→0^+) se obtiene ln y = lim_{t→0^+} ln(1+t)/t = 1, luego y = e.
Pregunta: ¿La propiedad lim_{x→0} (1+ax)^{1/(ax)} a qué valor converge y qué indeterminación es?
Respuesta: Converge a e y la forma indeterminada es 1^∞, con 'a' constante.
Pregunta: ¿Se puede aplicar el mismo límite de (1+1/x)^x para (1+1/(ax))^{ax} cuando x→∞?
Respuesta: Sí: lim_{x→∞} (1+1/(ax))^{ax} = e, con 'a' constante y la forma 1^∞.