Test sobre Límites e Infinitesimales en Cálculo

Pregunta 1: Durante la demostración del límite notable $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$, se emplea la sustitución de variable $t = \frac{1}{x}$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: En la sección de 'Demostración' del límite $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$, se indica claramente que se realiza una sustitución con $t = \frac{1}{x}$. Esto permite transformar el límite de $x \to \infty$ a $t \to 0^+$, como se muestra en los pasos subsiguientes de la demostración.

Pregunta 2: En la demostración del límite cuando $x \to 0$ de $\frac{\tan x}{x}$, la expresión $\frac{\text{sen } x}{x}$ se utiliza como el límite superior dentro del Teorema de la Compresión.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio demuestran que, para el límite cuando $x \to 0$ de $\frac{\tan x}{x}$, las desigualdades utilizadas en el Teorema de la Compresión son $\frac{1}{\cos x} > \frac{\tan x}{x} > 1$. El límite superior en esta demostración es $\frac{1}{\cos x}$, no $\frac{\text{sen } x}{x}$.

Pregunta 3: Cuando se comparan dos infinitésimos $\alpha = \alpha(x)$ y $\beta = \beta(x)$ cuando $x \to a$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpretación de su orden es correcta según la tabla de comparación proporcionada?

A. Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = A$ (con A ∈ R, A ≠ 0), entonces $\alpha$ y $\beta$ son infinitésimos equivalentes.

B. Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0$, entonces $\beta$ es infinitésimo de orden superior respecto a $\alpha$.

C. Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \infty$, entonces $\beta$ es infinitésimo de orden superior respecto a $\alpha$.

D. Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha^k(x)} = A$ (con A ∈ R, A ≠ 0), entonces $\alpha$ es infinitésimo de orden k respecto a $\beta$.

Explicación: La tabla de Comparación de Infinitésimos establece lo siguiente: - Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = A$ (A ∈ R, A ≠ 0), los infinitésimos son del mismo orden, siendo equivalentes solo si A=1. Por lo tanto, la opción 0 es incorrecta. - Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0$, el infinitésimo $\beta$ es de orden superior respecto a $\alpha$. Por lo tanto, la opción 1 es correcta. - Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \infty$, el infinitésimo $\beta$ es de orden inferior respecto a $\alpha$. Por lo tanto, la opción 2 es incorrecta. - Si $\lim_{x \to a} \frac{\beta(x)}{\alpha^k(x)} = A$ (A ∈ R, A ≠ 0), el infinitésimo $\beta$ es de orden k respecto a $\alpha$. La opción 3 invierte los roles de $\alpha$ y $\beta$, haciéndola incorrecta.

Pregunta 4: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente un infinitésimo o el teorema relacionado con una función con límite?

A. Una función f(x) es un infinitésimo si y solo si el límite de f(x) es cero cuando x tiende a un valor dado o a infinito.

B. Según el teorema, toda función con límite es igual a este límite multiplicado por un infinitésimo.

C. Si una función f(x) se puede expresar como la suma de un número real L y un infinitésimo α(x), entonces el límite de f(x) es L.

D. Una función se denomina infinitésimo si tiende a cualquier número real diferente de cero en un punto.

Explicación: Una función se define como infinitésimo si su límite es cero cuando la variable tiende a un valor o al infinito, como se indica en la opción 0. El teorema establece que toda función con límite L es igual a L más un infinitésimo, lo que implica que si f(x) = L + α(x) (donde α(x) es un infinitésimo), entonces el límite de f(x) es L, como se describe en la opción 2. La opción 1 es incorrecta porque el teorema dice 'más un infinitésimo', no 'multiplicado por'. La opción 3 es incorrecta porque un infinitésimo debe tender a cero, no a cualquier número real diferente de cero.

Pregunta 5: El factor 'e^(-pt)' presente en el exponente de la integral de la Transformada de Laplace se utiliza para la comparación estructural con una tabla de 'Limites Notables'.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La Transformada de Laplace se define como f(p) = ∫_0^∞ e^(-pt) f(t) dt, donde el factor 'e^(-pt)' es parte del integrando. El 'Método de Limites Notables' implica comparar la expresión de un límite original con una tabla de soluciones predefinidas. Los materiales de estudio no indican que el factor 'e^(-pt)' de la Transformada de Laplace se utilice para una comparación estructural con una tabla de 'Limites Notables'.