Resumen de Límites e Infinitesimales en Cálculo

## Introducción Las **límites** describen el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto o al infinito. Este material cubre conceptos clave sobre límites, límites notables, infinitésimos y técnicas básicas para comparar y manipular límites, pensado para estudiantes que no asisten a clases. > **Definición:** Diremos que una función $y=f(x)$ es un *infinitésimo* cuando $x\to a$ (o $x\to\infty$) si y solo si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ (o $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$). --- ## Contenidos principales ### 1. Conceptos básicos de límite - Un límite $\lim_{x\to a} f(x)=L$ significa que al acercarse $x$ a $a$, los valores de $f(x)$ se acercan a $L$. - Si $\lim_{x\to a} f(x)$ existe y es igual a $L$, podemos escribir $f(x)=L+\alpha(x)$ donde $\alpha(x)$ es un infinitésimo cuando $x\to a$. > **Definición:** Si $f(x)=L+\alpha(x)$ con $\lim\alpha(x)=0$, entonces $\lim_{x\to a} f(x)=L$. ### 2. Límites notables (valores estándar útiles) Estos límites se usan a menudo para calcular casos indeterminados tipo $0/0$ o $1^{\infty}$. - $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$$ - $$\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\sin(ax)}=1$$ - $$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{ax}=1$$ - $$\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\tan(ax)}=1$$ - $$\lim_{x\to 0} \left(1+ax\right)^{1/(ax)}=e$$ - $$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{ax}\right)^{ax}=e$$ > **Nota:** en estas expresiones $a$ es una constante cualquiera. #### Demostración básica del límite que da $e$ Para demostrar $$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$$ considere $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ y tome logaritmos: $$\ln y=\lim_{x\to\infty} x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right).$$ Cambie variable $t=1/x$, entonces $t\to 0^+$ y $$\ln y=\lim_{t\to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t}=1,$$ porque $\ln(1+t)\sim t$ cuando $t\to 0$, por lo tanto $y=e$. ### 3. Teorema de la compresión (teorema del sándwich) Si para $x$ cercano a $a$ se cumple $$g(x)\le f(x)\le h(x)$$ y $$\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,$$ entonces $$\lim_{x\to a} f(x)=L.$$ Este teorema se usa, por ejemplo, para probar que $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$ mediante la desigualdad $\sin x\le x\le \tan x$. ### 4. Infinitésimos y su comparación - Dos infinitésimos $\alpha(x)$ y $\beta(x)$ se comparan mediante el cociente $\lim_{x\to a} \dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}$. Tabla de interpretación: | Resultado | Interpretación | Ejemplo | | --- | --- | --- | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=A$ con $A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | mismos orden | $\tan x$ y $2x$ en $x=0$ | | $0$ | $\beta$ es de orden superior (tiende a 0 más rápido) | $x^3$ respecto a $x$ en $x=0$ | | $\infty$ | $\beta$ es de orden inferior (tiende a 0 más lento) | $x^3$ respecto a $x^5$ en $x=0$ | | $1$ | infinitésimos equivalentes | $\sin(3x)$ y $3x$ en $x=0$ | > **Definición:** Se dice que $f(x)$ y $g(x)$ son *equivalentes* cuando $\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. Escribimos $f\approx g$ cuando $x\to a$. Tabla de infinitésimos equivalentes comunes: | $x\to 0$ | $x\to\infty$ | | --- | --- | | $\sin x\approx x$ | $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\approx \dfrac{1}{x}$ | | $\tan x\approx x$ | $\tan\left(\dfrac{1}{x}\right)\approx \dfrac{1}{x}$ | | $1-\cos x\approx \dfrac{x^2}{2}$ | $1-\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\approx \dfrac{1}{2x^2}$ | | $\ln(1+x)\approx x$ | $\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\approx \dfrac{1}{x}$ | | $a^x-1\approx x\ln a$ | $a^{1/x}-1\approx \dfrac{\ln a}{x}$ | ### 5. Propiedades prácticas de los infinitésimos - Suma finita de infinitésimos es infinitésimo. - Producto de un infinitésimo por una constante finita es infinitésimo. - Cociente de un infinitésimo por una constante no nula es infinitésimo. Ejemplo: si $\lim_{x\to\infty} f(x)=1$, entonces podemos escribir $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$ cuando el exceso sobre 1 es un infinitésimo. --- ## Ejemplos resueltos 1) Calcular $$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}.$$ Observa que $\dfrac{\sin(5x)}{x}=5\cdot \dfrac{\sin(5x)}{5x}$ y por límite notable $$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{5x}=1,$$ luego