Límites e Infinitesimales en Cálculo: Guía Esencial
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Pregunta: ¿Qué son los "límites notables" en el estudio de límites?
Respuesta: Son límites cuyo valor está determinado previamente (por eso 'notable') y se usan como referencia para calcular otros límites de características simil
Pregunta: ¿Cuál es el valor de lim_{x→0} (sin(ax))/(ax) y qué forma indeterminada tiene?
Respuesta: El límite es 1 y corresponde a la forma indeterminada 0/0 (con a constante).
Pregunta: ¿Cuál es el valor de lim_{x→0} (ax)/sin(ax) y qué implica?
Respuesta: El límite es 1; es la recíproca del caso sin(ax)/(ax) y también resulta 1 cuando a es constante y x→0.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de lim_{x→0} tan(ax)/(ax) y cuál es su recíproca equivalente?
Respuesta: El límite es 1. La recíproca ax/tan(ax) también tiende a 1 cuando x→0 (a constante).
Pregunta: ¿Cuál es el límite de (1+ax)^{1/(ax)} cuando x→0 y qué forma indeterminada representa?
Respuesta: El límite es e; corresponde a la forma indeterminada 1^{∞} (a constante a).
Pregunta: ¿Cuál es el límite de (1 + 1/(ax))^{ax} cuando x→∞ y qué valor toma?
Respuesta: El límite es e y representa la forma indeterminada 1^{∞} (a constante a).
Pregunta: En la demostración clásica, ¿qué desigualdad trigonométrica se usa para probar que lim_{x→0} (sin x)/x = 1?
Respuesta: Se usa la desigualdad sin x < x < tan x (para x cerca de 0), y al transformar se obtiene 1 > (sin x)/x > cos x, lo que lleva al límite 1.
Pregunta: Cómo se obtiene que lim_{x→0} (tan x)/x = 1 usando desigualdades trigonométricas?
Respuesta: Partiendo de sin x < x < tan x y manipular recíprocas conduce a 1 < (tan x)/x < 1/cos x; al hacer x→0 ambas cotas tienden a 1, por lo que el límite es
Pregunta: Resumen: ¿Qué límites trigonométricos notables se deben recordar para x→0?
Respuesta: Recordar que lim_{x→0} (sin(ax))/(ax)=1 y lim_{x→0} (tan(ax))/(ax)=1 (para cualquier constante a).
Pregunta: ¿Qué técnica se emplea en la demostración de lim_{x→∞} (1+1/x)^x = e usando logaritmos?
Respuesta: Se toma y = (1+1/x)^x, se aplica ln: ln y = x ln(1+1/x), se cambia variable t=1/x, y se evalúa lim_{t→0^+} ln(1+t)/t = 1, por lo que ln y =1 y y=e.