Resumen de Límites e Infinitesimales en Análisis Matemático

## Introducción Los límites son una herramienta central en el cálculo que describen el comportamiento de funciones cuando la variable se aproxima a un punto o tiende a infinito. En este material veremos conceptos clave sobre infinitésimos, límites notables y métodos útiles para comparar y evaluar límites. > **Definición:** Diremos que una función $y=f(x)$ es infinitamente pequeña (infinitésimo) cuando $x\to a$ o $x\to \infty$ si y solo si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ o $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$. ## 1. Infinitésimos y su uso ### 1.1 Idea básica Un infinitésimo es simplemente una cantidad que tiende a cero. Muchas técnicas de límite usan la descomposición de una función como un número real más un infinitésimo: > **Teorema (forma práctica):** Si $f(x)=L+a(x)$ donde $\lim a(x)=0$, entonces $\lim f(x)=L$. Ejemplo: si $\lim_{x\to\infty} f(x)=1$ y sabemos que $f(x)=1+\frac{1}{x}$, entonces $\frac{1}{x}$ es un infinitésimo cuando $x\to\infty$. ### 1.2 Propiedades útiles - La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo. - El producto de un infinitésimo por una constante o por una variable con límite finito es un infinitésimo. - El cociente de un infinitésimo por una variable cuyo límite es distinto de cero es un infinitésimo. ### 1.3 Comparación de infinitésimos Para saber cuál tiende a cero más rápido se estudia el límite del cociente: - Si $\lim_{x\to a}\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=A\in(0,\infty)$, son del mismo orden. - Si el límite es $0$, $\beta$ es de orden superior (se anula más rápido). - Si el límite es $\infty$, $\beta$ es de orden inferior (se anula más lento). - Si el límite es $1$, son infinitésimos equivalentes, escribimos $\alpha\approx\beta$ cuando $x\to a$. Tabla de ejemplos clásicos de equivalencia | Caso | Equivalencia cuando $x\to 0$ | Equivalencia cuando $x\to\infty$ | | --- | --- | --- | | lineal | $x\approx x$ | $\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ | | tangente | $\tan x\approx x$ | $\tan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ | | arco seno | $\arcsin x\approx x$ | $\arcsin\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ | | arco tan | $\arctan x\approx x$ | $\arctan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ | | coseno | $1-\cos x\approx\dfrac{x^2}{2}$ | $1-\cos\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{2x^2}$ | | logarítmico | $\ln(1+x)\approx x$ | $\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\approx\dfrac{1}{x}$ | | exponencial | $a^{x-1}-1\approx(x-1)\ln a$ | $a^{x-1}-1\approx\dfrac{\ln a}{x}$ | | binomio-exponencial | $(1+x)^{\frac{1}{x}}\to e$ relacionado con $e^x$ | $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\to e$ | > **Nota:** usar equivalencias permite reemplazar funciones por su equivalente más simple para evaluar límites complicados. ## 2. Límites notables Son límites fundamentales cuyo valor es conocido y se usan como referencia. ### 2.1 Relaciones trigonométricas - $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$$ - $$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{ax}=1$$ Demostración breve (por compresión): dado que $\sin x< x<\tan x$ para $x$ cercano a $0$, al manipular y tomar límites se obtiene $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$ y análogamente para $\tan x$. ### 2.2 Límite exponencial básico - $$\lim_{x\to 0} (1+ax)^{\frac{1}{ax}}=e$$ - $$\lim_{x\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{ax}\right)^{ax}=e$$ Demostración esquemática: si $y=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ entonces $$\ln y=\lim_{x\to\infty} x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$$ por tanto $y=e$. ### 2.3 Uso práctico - Reemplaza subexpresiones por sus equivalentes cuando el límite conduce a formas indeterminadas como $0/0$ o $1^{\infty}$. - Combina con series de Taylor (si ya las conoces) para obtener equivalencias más precisas. Did you know que la aproximación $\sin x\approx x$ para $x$ cercano a $0$ es la base de muchas fórmulas físicas que linealizan sistemas (por ejemplo, la aproximación de pequeño ángulo en péndulos)? ## 3. Métodos y teoremas útiles ### 3.1 Método: Límites notables por comparación 1. Identifica subexpresiones que coinciden con un límite notable. 2. Ree