Resumen de Límites e Infinitesimales en Análisis Matemático
Límites e Infinitesimales en Análisis Matemático: Guía Completa
Introducción
Los límites son una herramienta central en el cálculo que describen el comportamiento de funciones cuando la variable se aproxima a un punto o tiende a infinito. En este material veremos conceptos clave sobre infinitésimos, límites notables y métodos útiles para comparar y evaluar límites.
Definición: Diremos que una función $y=f(x)$ es infinitamente pequeña (infinitésimo) cuando $x\to a$ o $x\to \infty$ si y solo si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ o $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$.
1. Infinitésimos y su uso
1.1 Idea básica
Un infinitésimo es simplemente una cantidad que tiende a cero. Muchas técnicas de límite usan la descomposición de una función como un número real más un infinitésimo:
Teorema (forma práctica): Si $f(x)=L+a(x)$ donde $\lim a(x)=0$, entonces $\lim f(x)=L$.
Ejemplo: si $\lim_{x\to\infty} f(x)=1$ y sabemos que $f(x)=1+\frac{1}{x}$, entonces $\frac{1}{x}$ es un infinitésimo cuando $x\to\infty$.
1.2 Propiedades útiles
- La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo.
- El producto de un infinitésimo por una constante o por una variable con límite finito es un infinitésimo.
- El cociente de un infinitésimo por una variable cuyo límite es distinto de cero es un infinitésimo.
1.3 Comparación de infinitésimos
Para saber cuál tiende a cero más rápido se estudia el límite del cociente:
- Si $\lim_{x\to a}\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=A\in(0,\infty)$, son del mismo orden.
- Si el límite es $0$, $\beta$ es de orden superior (se anula más rápido).
- Si el límite es $\infty$, $\beta$ es de orden inferior (se anula más lento).
- Si el límite es $1$, son infinitésimos equivalentes, escribimos $\alpha\approx\beta$ cuando $x\to a$.
Tabla de ejemplos clásicos de equivalencia
| Caso | Equivalencia cuando $x\to 0$ | Equivalencia cuando $x\to\infty$ |
|---|---|---|
| lineal | $x\approx x$ | $\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ |
| tangente | $\tan x\approx x$ | $\tan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ |
| arco seno | $\arcsin x\approx x$ | $\arcsin\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ |
| arco tan | $\arctan x\approx x$ | $\arctan\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{x}$ |
| coseno | $1-\cos x\approx\dfrac{x^2}{2}$ | $1-\cos\dfrac{1}{x}\approx\dfrac{1}{2x^2}$ |
| logarítmico | $\ln(1+x)\approx x$ | $\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\approx\dfrac{1}{x}$ |
| exponencial | $a^{x-1}-1\approx(x-1)\ln a$ | $a^{x-1}-1\approx\dfrac{\ln a}{x}$ |
| binomio-exponencial | $(1+x)^{\frac{1}{x}}\to e$ relacionado con $e^x$ | $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\to e$ |
Nota: usar equivalencias permite reemplazar funciones por su equivalente más simple para evaluar límites complicados.
2. Límites notables
Son límites fundamentales cuyo valor es conocido y se usan como referencia.
2.1 Relaciones trigonométricas
- $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$$
- $$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{ax}=1$$
Demostración breve (por compresión): dado que $\sin x< x<\tan x$ para $x$ cercano a $0$, al manipular y tomar límites se obtiene $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$ y análogamente para $\tan x$.
2.2 Límite exponencial básico
- $$\lim_{x\to 0} (1+ax)^{\frac{1}{ax}}=e$$
- $$\lim_{x\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{ax}\right)^{ax}=e$$
Demostración esquemática: si $y=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ entonces
$$\ln y=\lim_{x\to\infty} x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$$
por tanto $y=e$.
2.3 Uso práctico
- Reemplaza subexpresiones por sus equivalentes cuando el límite conduce a formas indeterminadas como $0/0$ o $1^{\infty}$.
- Combina con series de Taylor (si ya las conoces) para obtener equivalencias más precisas.
3. Métodos y teoremas útiles
3.1 Método: Límites notables por comparación
- Identifica subexpresiones que coinciden con un límite notable.
- Ree
Regístrate para el resumen completo¿Ya tienes cuenta? Iniciar sesión
Límites - Infinitésimos
Klíčová slova: Límites
Klíčové pojmy: Infinitésimo: función que tiende a 0 cuando $x\to a$ o $x\to\infty$, Si $f(x)=L+a(x)$ con $\lim a(x)=0$ entonces $\lim f(x)=L$, Equivalencia: $f\approx g$ cuando $\lim \dfrac{f}{g}=1$, Clásicos: $\sin x\approx x$, $\tan x\approx x$, $1-\cos x\approx\dfrac{x^2}{2}$, Límite definitorio de $e$: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$, Comparar infinitésimos con $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}$ (0, finite no cero, o $\infty$), Usar teorema de la compresión cuando se pueda acotar la función, Reemplazar subexpresiones por equivalentes para resolver indeterminaciones