Límites e Infinitesimales en Análisis Matemático: Guía Completa
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Pregunta: ¿Qué significa que dos infinitésimos f(x) y g(x) sean equivalentes cuando x→a?
Respuesta: Significa que lim_{x→a} f(x)/g(x)=1. Se escribe f ≈ g cuando x→a.
Pregunta: Escribe un infinitésimo equivalente para tan x cuando x→0.
Respuesta: tan x ≈ x cuando x→0.
Pregunta: ¿Cuál es el equivalente de 1−cos x cuando x→0?
Respuesta: 1−cos x ≈ x^2/2 cuando x→0.
Pregunta: ¿Cuál es el equivalente de ln(1+x) cuando x→0?
Respuesta: ln(1+x) ≈ x cuando x→0.
Pregunta: ¿Cuál es el equivalente de a^{x−1}−1 cuando x→∞?
Respuesta: a^{x−1}−1 ≈ (ln a)/x cuando x→∞.
Pregunta: Da el equivalente de (1+1/x)^x cuando x→∞ (forma notable).
Respuesta: (1+1/(ax))^{ax} → e cuando x→∞ (caso notable con a constante).
Pregunta: ¿Cuál es el límite notable de (1+ax)^{1/(ax)} cuando x→0?
Respuesta: lim_{x→0} (1+ax)^{1/(ax)} = e (forma 1^{∞}).
Pregunta: Escribe el equivalente para arcsen x y arctan x cuando x→0.
Respuesta: arcsen x ≈ x y arctan x ≈ x cuando x→0.
Pregunta: ¿Qué equivalente se usa para funciones trigonométricas con argumento 1/x cuando x→∞? (ej. tan(1/x))
Respuesta: tan(1/x) ≈ 1/x cuando x→∞ (análogamente para otras funciones que tienden a 0 en el argumento).
Pregunta: ¿Cuál es el equivalente de (1+x)^2−1 cuando x→0 y su análogo para x→∞ con 1/x?
Respuesta: (1+x)^2−1 ≈ 2x (en la tabla aparece relación con e^x); para x→∞, (1+1/x)^2−1 ≈ 1/x.