Test sobre Integrales Triples y Cambio de Variables

Pregunta 1: En la integración triple en coordenadas cilíndricas, el diferencial de volumen d x d y d z se reemplaza por d r d θ d z.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el teorema del cambio de variables para la integración triple en coordenadas cilíndricas, el diferencial d x d y d z se reemplaza por r d r d θ d z, ya que el jacobiano asociado a la transformación de coordenadas cilíndricas a rectangulares es r.

Pregunta 2: ¿Cuál es el valor del Jacobiano J⃗T (r, θ, z) para la transformación de coordenadas cilíndricas a rectangulares, donde ⃗T(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z)?

A. r sen θ

B. r

C. r cos θ

D. 1

Explicación: Según el material de estudio, el Jacobiano para la transformación de coordenadas cilíndricas a rectangulares se calcula como el determinante de la matriz de derivadas parciales, resultando en r (cos² θ + sen² θ) = r.

Pregunta 3: Un punto (x, y, z) en coordenadas rectangulares puede ser representado en coordenadas esféricas por el trío (ρ, θ, φ) donde ρ = √(x² + y² + z²), tan θ = y/x y cos φ = z/√(x² + y² + z²).

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales de estudio, un punto (x, y, z) del espacio en coordenadas rectangulares puede ser representado en coordenadas esféricas por el trío (ρ, θ, φ) con las relaciones dadas: ρ = √(x² + y² + z²), tan θ = y/x y cos φ = z/√(x² + y² + z²).

Pregunta 4: El valor absoluto del jacobiano asociado al difeomorfismo para transformar coordenadas esféricas en rectangulares es ρ sen φ.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio indican que el jacobiano asociado al difeomorfismo para coordenadas esféricas es J ⃗ T ( ρ , θ , φ ) = − ρ 2 sen φ. Dado que sen φ ≥ 0 para φ ∈ ( 0 , π ] , el valor absoluto del jacobiano es ρ 2 sen φ, no ρ sen φ.

Pregunta 5: ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan correctamente las componentes de la transformación de coordenadas esféricas a rectangulares, definida por ⃗ T ( ρ , θ , φ ) = ( x , y , z )?

A. x = ρ cos θ sen φ

B. y = ρ sen θ sen φ

C. z = ρ sen φ

D. z = ρ cos φ

Explicación: El material de estudio define el difeomorfismo ⃗ T ( ρ , θ , φ ) = ( ρ cos θ sen φ , ρ sen θ sen φ , ρ cos φ ), lo que establece que las componentes en coordenadas rectangulares son x = ρ cos θ sen φ, y = ρ sen θ sen φ y z = ρ cos φ.