Resumen de Integrales Triples y Cambio de Variables

## Introducción Las integrales múltiples permiten calcular volúmenes, masas y otros cuantitativos en regiones del espacio. Cuando la región o la integranda presentan simetría circular o esférica, resulta conveniente cambiar a coordenadas cilíndricas o esféricas para simplificar el cálculo. > **Definición:** En coordenadas cilíndricas un punto en \(\mathbb{R}^3\) se escribe como \((r,\theta,z)\) con \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z=z\). En coordenadas esféricas se usa \((\rho,\phi,\theta)\) con \(x = \rho\sin\phi\cos\theta\), \(y = \rho\sin\phi\sin\theta\), \(z = \rho\cos\phi\). ## Descomposición del problema dado Tenemos la región \(\Omega\subset\mathbb{R}^3\) definida por $$\Omega = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\; z \ge p\,x^2 + y^2,\; x^2 + y^2 + (z-3)^2 \le 9\right\}$$ y la integral $$I = \iiint_{\Omega} e^{x^2 + y^2 + z^2}\,dV.$$ Interpretación geométrica: - La desigualdad \(z \ge p\,x^2 + y^2\) describe un paraboloide (abierto hacia arriba si \(p>0\)). - La desigualdad \(x^2 + y^2 + (z-3)^2 \le 9\) es una esfera de radio 3 centrada en \((0,0,3)\). - La región \(\Omega\) es la porción de la esfera que está por encima (o sobre) del paraboloide. ## Coordenadas cilíndricas Recordatorio de elementos en coordenadas cilíndricas: - Elemento de volumen: \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\). - Relación radial: \(x^2 + y^2 = r^2\). Para expresar límites conviene encontrar las curvas de intersección entre la esfera y el paraboloide. Intersección: sustituimos \(r^2 = x^2 + y^2\) y buscamos puntos donde ambos cumplen igualdad: $$z = p\,r^2$$ $$r^2 + \left(p\,r^2 - 3\right)^2 = 9$$ Esto da una ecuación en \(r\) (cuarta potencia en general). Sea \(r = r_0\) la solución real no negativa que corresponda a la intersección radial máxima. Los límites angulares son completos si la región es rotacionalmente simétrica alrededor del eje \(z\): \(\theta\in[0,2\pi]\). A continuación se escriben las integrales iteradas solicitadas, dejando \(r_0\) como el valor radial de intersección (obtenible resolviendo la ecuación anterior para los parámetros dados). 1) Orden de integración \(dz\,dr\,d\theta\): - Para un \(r\) fijo, \(z\) va desde el paraboloide hasta la esfera superior. La esfera en términos de \(r\) y \(z\) está dada por \(z = 3 \pm \sqrt{9 - r^2}\); la porción dentro de la esfera corresponde a la rama superior y a la inferior según posición, pero como buscamos puntos con \(z\ge p\,r^2\) y dentro de la esfera, el límite superior es $$z_{\text{sup}} = 3 + \sqrt{9 - r^2}$$ y el límite inferior es $$z_{\text{inf}} = p\,r^2.$$ - El radio varía entre \(r=0\) y \(r=r_0\). El ángulo \(\theta\in[0,2\pi]\). La integral queda: $$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r_0} \int_{p\,r^2}^{\;3 + \sqrt{9 - r^2}} e^{r^2 + z^2}\; r\,dz\,dr\,d\theta.$$ 2) Orden de integración \(dr\,dz\,d\theta\): - Para un valor fijo de \(z\), la proyección radial viene dada por la esfera: de \(r=0\) hasta \(r = \sqrt{9 - (z-3)^2}\), pero también debemos imponer \(r\) tal que \(z \ge p\,r^2\) ó equivalentemente \(r \le \sqrt{z/p}\) si \(p>0\). Por tanto el límite superior de \(r\) es el mínimo entre ambas cantidades. - Los valores de \(z\) que participan son aquellos donde existe intersección: desde la altura en que paraboloide y esfera empiezan a superponerse hasta la cúpula de la esfera. En términos generales, la esfera ocupa \(z\in[0,6]\) (centro 3, radio 3). El valor mínimo real de \(z\) en la región vendrá dado resolviendo la intersección; denótese \(z_{\min}\) la menor solución de la ecuación de intersección. El máximo es \(z_{\max} = 6\). La integral se escribe dejando explícita la comparación de límites: $$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{z_{\min}}^{6} \int_{0}^{\min\left(\sqrt{9 - (z-3)^2},\;\sqrt{\dfrac{z}{p}}\right)} e^{r^2 + z^2}\; r\,dr\,dz\,d\theta.$$ Aquí \(z_{\min}\) es la altura donde aparece la primera intersección real entre las superficies. > **Definición:** En problemas concretos se debe resolver la ecuación de intersección para obten