Test sobre Integrales Triples: Conceptos y Aplicaciones

Pregunta 1: ¿Una función f es integrable sobre el dominio [a,b] × [c,d] × [p,q] si el límite de la suma de Riemann tridimensional existe y es independiente de la elección de los elementos c_ijk en cada subrectángulo [x_i-1, x_i] × [y_j-1, y_j] × [z_k-1, z_k]?

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición proporcionada, una función f es integrable sobre la región [a,b] × [c,d] × [p,q] si el límite de la suma de Riemann tridimensional existe y su valor es independiente de la elección de los puntos muestra c_ijk.

Pregunta 2: Según los materiales de estudio, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe la aplicación del Teorema de Fubini a una integral triple de una función continua sobre una región rectangular?

A. Transforma la integral triple en una suma de integrales de una sola variable.

B. Permite expresar la integral triple como una secuencia de integrales iteradas.

C. Requiere que la función integrada sea discontinua en la región.

D. Implica que el valor de la integral no cambia al modificar el orden de integración de las integrales iteradas.

Explicación: Los materiales de estudio indican que "Usando el teorema de Fubini (la funci ´ on es continua) se sigue que la integral es igual a las integrales iteradas", lo cual apoya la opción 1. Además, se menciona que esta integral "comparte el criterio de integrabilidad, el teorema de fubini y las propiedades de las integrales dobles", y una propiedad fundamental del Teorema de Fubini para integrales dobles (y por extensión para triples) es que el orden de integración puede cambiarse sin alterar el resultado, siempre que la función sea continua, lo que valida la opción 3. Las opciones 0 y 2 son incorrectas porque la integral se expresa como iteradas, no una suma de integrales simples, y el teorema aplica para funciones continuas.

Pregunta 3: En el ejemplo de cálculo de la integral triple sobre la región rectangular, después de la integración con respecto a 'x' y 'y', la expresión a integrar con respecto a 'z' es (7/3)z + 1/3.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según los materiales de estudio, después de integrar con respecto a 'x' y luego con respecto a 'y' (evaluando los límites para 'y'), la expresión resultante a integrar con respecto a 'z' es (7/3)z + 1/2, no (7/3)z + 1/3.

Pregunta 4: Para una región elemental respecto al plano xy, la integral triple de una función f(x,y,z) se puede expresar como Z b a Z g 2 ( x ) g 1 ( x ) Z k 2 ( x , y ) k 1 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d y d x.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición proporcionada en los materiales de estudio, para una región elemental T respecto al plano xy, la integral triple de una función f(x,y,z) se puede expresar como ZZZ T f ( x , y , z ) d V = Z b a Z g 2 ( x ) g 1 ( x ) Z k 2 ( x , y ) k 1 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d y d x.

Pregunta 5: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una región elemental respecto al plano xy según los materiales de estudio?

A. Una región T definida por T = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( x , y ) ∈ R , k 1 ( x , y ) ≤ z ≤ k 2 ( x , y ) }, donde R es cualquier región en R^2.

B. Una región T de la forma { ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( x , y ) ∈ R , k 1 ( x , y ) ≤ z ≤ k 2 ( x , y ) }, donde R es una región elemental en R^2 y k 1 ( x , y ) , k 2 ( x , y ) son funciones continuas en R.

C. Una región donde los límites de z son constantes y los de x e y son funciones de las otras variables.

D. Una región en R^3 donde la integral triple se calcula únicamente en el orden dz dy dx.

Explicación: Según la definición proporcionada en los materiales de estudio, una región elemental respecto al plano xy es una región T de la forma T = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( x , y ) ∈ R , k 1 ( x , y ) ≤ z ≤ k 2 ( x , y ) }, donde R es una región elemental en R^2 y k 1 ( x , y ) , k 2 ( x , y ) son funciones continuas en R.