Resumen de Integrales Triples: Conceptos y Aplicaciones
Integrales Triples: Conceptos, Fubini y Aplicaciones Clave
Introducción
Las integrales triples permiten sumar valores de una función $f(x,y,z)$ sobre una región tridimensional del espacio. Son útiles para calcular volúmenes, masas de cuerpos con densidad variable, centros de masa y otros magnitudes físicas definidas en regiones en $\mathbb{R}^3$.
Definición: Diremos que una función $f$ es integrable sobre el rectángulo $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$ si existe el límite $$\lim_{m,n,l\to\infty} \sum_{i,j,k} f(c_{ijk}),\Delta x_i,\Delta y_j,\Delta z_k$$ independiente de la elección de los puntos de muestra $c_{ijk}\in\left[x_{i-1},x_i\right]\times\left[y_{j-1},y_j\right]\times\left[z_{k-1},z_k\right].$$
El valor de este límite se denota por $$\iiint_{\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]} f(x,y,z),dV.$$
Conceptos fundamentales
1) Interpretación geométrica
- La integral triple de $f$ sobre una región $E$ suma las contribuciones $f(x,y,z)$ en cada punto multiplicadas por el elemento de volumen infinitesimal $dV$.
- Si $f\equiv 1$, la integral triple da el volumen de $E$: $$\text{Vol}(E)=\iiint_E 1,dV.$$
2) Regiones y particiones
- Se comienza generalmente con un producto cartesiano $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$ y luego se extiende a regiones más generales mediante caracterización de la región por desigualdades.
- Una partición regular en cada eje genera celdas $\Delta x_i\times\Delta y_j\times\Delta z_k$ cuya suma aproximará la integral.
3) Propiedades esenciales
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Linealidad | $\iiint_E (af+bg),dV = a\iiint_E f,dV + b\iiint_E g,dV$ |
| Monotonía | Si $f\le g$ en $E$ entonces $\iiint_E f,dV \le \iiint_E g,dV$ |
| Positividad | Si $f\ge 0$ en $E$ entonces $\iiint_E f,dV \ge 0$ |
4) Integración iterada (recordatorio breve)
- Para funciones continuas en cajas rectangulares, la integral triple puede evaluarse como integrales iteradas siguiendo un orden cualquiera de integración. Cada integral iterada es una integral simple anidada en $x$, $y$, $z$.
Regiones elementales
-
Una región en $\mathbb{R}^3$ puede describirse como:
- caja rectangular $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$
- región tipo 1 respecto a $x$: $E={(x,y,z),|, x\in\left[a,b\right],\ (y,z)\in D(x)}$
- región tipo 2 respecto a $y$: $E={(x,y,z),|, y\in\left[c,d\right],\ (x,z)\in D(y)}$
- región tipo 3 respecto a $z$: $E={(x,y,z),|, z\in\left[p,q\right],\ (x,y)\in D(z)}$
-
Para cada tipo, se puede escribir la integral triple como una integral iterada con límites que dependen de la variable exterior.
Definición: Una región $E$ es elemental respecto a $z$ si existen funciones continuas $g_1(x,y)$, $g_2(x,y)$ tales que $$E={(x,y,z),|,(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)}$$ y entonces $$\iiint_E f(x,y,z),dV = \iint_D \left( \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z),dz \right) dA.$$
Ejemplo resuelto paso a paso
Calcular $$\iiint_{\left[0,1\right]\times\left[1,2\right]\times\left[-1,1\right]} \left(x^2 y + z y^2\right),dV.$$
-
La función es continua en la caja, por lo que podemos usar integración iterada. Elegimos el orden $dx,dy,dz$: $$\iiint_{\left[0,1\right]\times\left[1,2\right]\times\left[-1,1\right]} \left(x^2 y + z y^2\right),dV = \int_{-1}^{1} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \left(x^2 y + z y^2\right),dx,dy,dz.$$
-
Integrar respecto a $x$: $$\int_{0}^{1} \left(x^2 y + z y^2\right),dx = \left[\frac{x^3}{3} y + x,z y^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} y + z y^2.$$
-
Ahora integrar respecto a $y$: $$\int_{1}^{2} \left(\frac{1}{3} y + z y^2\right),dy = \left[\frac{1}{6} y^2 + z \frac{1}{3} y^3\right]_{1}^{2} = \left(\frac{1}{6}\cdot 4 + z \frac{1}{3}\cdot 8\right) - \left(\frac{1}{6}\cdot 1 + z \frac{1}{3}\cdot 1\right)$$ $$= \left(\frac{2}{3} + \frac{8}{3} z\right) - \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} z\right) = \frac{2}{3}-\frac{1}{6} + \left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) z = \frac{1}{2} + \frac{
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Integrales triples - Introducción
Klíčová slova: Integrales triples, Integrales triples y teorema de Fubini, Integración múltiple en R3
Klíčové pojmy: Integral triple definida por límite de sumas de Riemann, Si $f\equiv 1$ la integral da el volumen de la región, Región elemental respecto a $z$ definida por $g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)$, Caja rectangular tiene límites constantes: $x\in[a,b]$, $y\in[c,d]$, $z\in[p,q]$, Propiedad de linealidad: $\iiint_E(af+bg)=a\iiint_E f+b\iiint_E g$, Para funciones continuas en cajas se usan integrales iteradas, Masa con densidad $\rho$ se calcula: $m=\iiint_E \rho\,dV$, Centro de masa usa integrales ponderadas por $x,y,z$, Dibujar la región antes de integrar ayuda a elegir orden, Si $f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)$ la integral puede factorizarse
## Introducción
Las integrales triples permiten sumar valores de una función $f(x,y,z)$ sobre una región tridimensional del espacio. Son útiles para calcular volúmenes, masas de cuerpos con densidad variable, centros de masa y otros magnitudes físicas definidas en regiones en $\mathbb{R}^3$.
> Definición: Diremos que una función $f$ es integrable sobre el rectángulo $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$ si existe el límite
> $$\lim_{m,n,l\to\infty} \sum_{i,j,k} f(c_{ijk})\,\Delta x_i\,\Delta y_j\,\Delta z_k$$
> independiente de la elección de los puntos de muestra $c_{ijk}\in\left[x_{i-1},x_i\right]\times\left[y_{j-1},y_j\right]\times\left[z_{k-1},z_k\right].$$
El valor de este límite se denota por
$$\iiint_{\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]} f(x,y,z)\,dV.$$
## Conceptos fundamentales
### 1) Interpretación geométrica
- La integral triple de $f$ sobre una región $E$ suma las contribuciones $f(x,y,z)$ en cada punto multiplicadas por el elemento de volumen infinitesimal $dV$.
- Si $f\equiv 1$, la integral triple da el volumen de $E$:
$$\text{Vol}(E)=\iiint_E 1\,dV.$$
### 2) Regiones y particiones
- Se comienza generalmente con un producto cartesiano $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$ y luego se extiende a regiones más generales mediante caracterización de la región por desigualdades.
- Una partición regular en cada eje genera celdas $\Delta x_i\times\Delta y_j\times\Delta z_k$ cuya suma aproximará la integral.
### 3) Propiedades esenciales
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Linealidad | $\iiint_E (af+bg)\,dV = a\iiint_E f\,dV + b\iiint_E g\,dV$ |
| Monotonía | Si $f\le g$ en $E$ entonces $\iiint_E f\,dV \le \iiint_E g\,dV$ |
| Positividad | Si $f\ge 0$ en $E$ entonces $\iiint_E f\,dV \ge 0$ |
### 4) Integración iterada (recordatorio breve)
- Para funciones continuas en cajas rectangulares, la integral triple puede evaluarse como integrales iteradas siguiendo un orden cualquiera de integración. Cada integral iterada es una integral simple anidada en $x$, $y$, $z$.
## Regiones elementales
- Una región en $\mathbb{R}^3$ puede describirse como:
- caja rectangular $\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\times\left[p,q\right]$
- región tipo 1 respecto a $x$: $E=\{(x,y,z)\,|\, x\in\left[a,b\right],\ (y,z)\in D(x)\}$
- región tipo 2 respecto a $y$: $E=\{(x,y,z)\,|\, y\in\left[c,d\right],\ (x,z)\in D(y)\}$
- región tipo 3 respecto a $z$: $E=\{(x,y,z)\,|\, z\in\left[p,q\right],\ (x,y)\in D(z)\}$
- Para cada tipo, se puede escribir la integral triple como una integral iterada con límites que dependen de la variable exterior.
> Definición: Una región $E$ es elemental respecto a $z$ si existen funciones continuas $g_1(x,y)$, $g_2(x,y)$ tales que
> $$E=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}$$
> y entonces
> $$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iint_D \left( \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz \right) dA.$$
## Ejemplo resuelto paso a paso
Calcular
$$\iiint_{\left[0,1\right]\times\left[1,2\right]\times\left[-1,1\right]} \left(x^2 y + z y^2\right)\,dV.$$
1) La función es continua en la caja, por lo que podemos usar integración iterada. Elegimos el orden $dx\,dy\,dz$:
$$\iiint_{\left[0,1\right]\times\left[1,2\right]\times\left[-1,1\right]} \left(x^2 y + z y^2\right)\,dV = \int_{-1}^{1} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \left(x^2 y + z y^2\right)\,dx\,dy\,dz.$$
2) Integrar respecto a $x$:
$$\int_{0}^{1} \left(x^2 y + z y^2\right)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} y + x\,z y^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} y + z y^2.$$
3) Ahora integrar respecto a $y$:
$$\int_{1}^{2} \left(\frac{1}{3} y + z y^2\right)\,dy = \left[\frac{1}{6} y^2 + z \frac{1}{3} y^3\right]_{1}^{2} = \left(\frac{1}{6}\cdot 4 + z \frac{1}{3}\cdot 8\right) - \left(\frac{1}{6}\cdot 1 + z \frac{1}{3}\cdot 1\right)$$
$$= \left(\frac{2}{3} + \frac{8}{3} z\right) - \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} z\right) = \frac{2}{3}-\frac{1}{6} + \left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) z = \frac{1}{2} + \frac{