Integrales Triples: Conceptos, Fubini y Aplicaciones Clave
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Pregunta: ¿Qué afirma el teorema de Fubini para una función continua en un rectángulo del espacio (producto de intervalos)?
Respuesta: Que la integral triple sobre el rectángulo es igual a cualquiera de las integrales iteradas (se puede integrar en cualquier orden).
Pregunta: Escribe la integral triple de f(x,y,z)=x^2 y + z y^2 sobre el rectángulo [0,1]×[1,2]×[−1,1] como iterada integrando primero en x, luego en y y finalme
Respuesta: ∫_{z=-1}^{1} ∫_{y=1}^{2} ∫_{x=0}^{1} (x^2 y + z y^2) dx dy dz.
Pregunta: Al integrar f(x,y,z)=x^2 y + z y^2 en x de 0 a 1, ¿qué expresión obtenemos antes de integrar en y y z?
Respuesta: ∫_{x=0}^{1} (x^2 y + z y^2) dx = (x^3/3) y + x y^2 z |_{0}^{1} = y/3 + y^2 z.
Pregunta: Después de integrar en x y luego en y sobre y∈[1,2], ¿qué expresión en z queda para el ejemplo dado?
Respuesta: ∫_{y=1}^{2} (y/3 + y^2 z) dy = [y^2/6 + y^3/3 z]_{1}^{2} = ( (4/6 + 8/3 z) - (1/6 + 1/3 z) ) = (1/2 + 7/3 z).
Pregunta: ¿Cuál es el valor final de la integral triple del ejemplo al integrar también en z sobre z∈[−1,1]?
Respuesta: ∫_{z=-1}^{1} (1/2 + 7/3 z) dz = [ (1/2) z + (7/6) z^2 ]_{-1}^{1} = 1.
Pregunta: Define lo que es una región elemental respecto al plano xy según el contenido.
Respuesta: Una región elemental respecto al plano xy es T = { (x,y,z) ∈ R^3 : (x,y) ∈ R, k_1(x,y) ≤ z ≤ k_2(x,y) } donde R es una región elemental en R^2 y k_1,k
Pregunta: Cómo se expresa la integral triple sobre una región elemental T respecto al plano xy en términos de una integral iterada sobre R y z?
Respuesta: ∭_T f(x,y,z) dV = ∬_R ( ∫_{z=k_1(x,y)}^{k_2(x,y)} f(x,y,z) dz ) dA.
Pregunta: Si la región base R es de tipo I (x entre funciones de y? o y entre constantes?), ¿cómo se escribe la integral triple en el orden dz dx dy según el co
Respuesta: Si R = { (x,y): c ≤ y ≤ d, φ_1(y) ≤ x ≤ φ_2(y) } entonces ∭_T f dV = ∫_{y=c}^{d} ∫_{x=φ_1(y)}^{φ_2(y)} ∫_{z=k_1(x,y)}^{k_2(x,y)} f(x,y,z) dz dx dy.