Test sobre Integrales Dobles y Regiones Elementales

Pregunta 1: Una región elemental de segundo tipo se define como un conjunto D donde y está acotada por dos funciones continuas de x, mientras que x está acotada por dos valores constantes.

A. Sí

B. No

Explicación: Según la definición, una región elemental de segundo tipo D es un conjunto donde existen funciones continuas ϕ1, ϕ2: [c, d] → R tales que para todo y ∈ [c, d] se cumple ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y). Esto significa que x está acotada por funciones de y, y la variable y está acotada por constantes. La descripción en la pregunta corresponde a la definición de una región elemental de primer tipo.

Pregunta 2: El volumen de un sólido S limitado por la superficie z = f(x,y), con (x,y) perteneciente a una región elemental D de primer tipo, y el plano xy, se calcula usando la integral doble V(S) = ∫_a^b ∫_u(x)^v(x) f(x,y) dy dx.

A. Sí

B. No

Explicación: El volumen del sólido S limitado por la superficie z = f(x,y) y el plano xy sobre una región D de primer tipo se calcula como V(S) = ∫_a^b ∫_u(x)^v(x) |f(x,y)| dy dx. La expresión en la pregunta omite el valor absoluto de la función f(x,y).

Pregunta 3: Según los materiales de estudio, para una región elemental D de segundo tipo, limitada por c ≤ y ≤ d y u(y) ≤ x ≤ v(y), ¿cuál es la expresión correcta para calcular el volumen V(S) del sólido S limitado por la superficie z = f(x,y) y el plano xy?

A. Z d c Z v ( y ) u ( y ) | f ( x , y ) | d x d y

B. Z b a Z v ( x ) u ( x ) | f ( x , y ) | d y d x

C. Z d c Z v ( y ) u ( y ) 1 d x d y

D. Z d c Z v ( y ) u ( y ) | f ( x , y ) | d y d x

Explicación: Los materiales de estudio establecen que, para una región elemental D de segundo tipo (donde x está acotado por funciones de y), el volumen del sólido S limitado por la superficie z = f(x,y) y el plano xy se calcula con la integral doble V(S) = ∫_c^d ∫_{u(y)}^{v(y)} |f(x,y)| dx dy. La opción 0 coincide exactamente con esta definición.

Pregunta 4: Según las 'Observaciones' del material de estudio, ¿cuáles de las siguientes expresiones representan correctamente el volumen V(S') de un sólido con base D y altura constante h?

A. V(S') = h A(D)

B. V(S') = Z_a^b Z_{u(x)}^{v(x)} h dy dx, si D es una región elemental de primer tipo.

C. V(S') = Z_c^d Z_{u(y)}^{v(y)} h dx dy, si D es una región elemental de segundo tipo.

D. V(S') = Z_a^b Z_{u(x)}^{v(x)} 1 dy dx

Explicación: El material de estudio, en la sección '3. Cálculo de Áreas y Volúmenes', específicamente en las 'Observaciones' para regiones elementales de primer y segundo tipo, establece que el volumen de un sólido S' con base D y altura constante h se puede expresar como V(S') = h A(D). Además, para una región de primer tipo, se formula como Z_a^b Z_{u(x)}^{v(x)} h dy dx, y para una región de segundo tipo, como Z_c^d Z_{u(y)}^{v(y)} h dx dy. La expresión Z_a^b Z_{u(x)}^{v(x)} 1 dy dx, en cambio, representa el área A(D) de la región D, no el volumen del sólido con altura h.

Pregunta 5: Para hallar el volumen del sólido descrito en el ejercicio 5, es imprescindible dividir la región de integración D en subregiones utilizando la recta x = 2y.

A. Sí

B. No

Explicación: La función f(x,y) en el ejercicio 5 está definida por partes (1+x y -1-y) dependiendo de si (x,y) pertenece a D1 (donde x > 2y) o D2 (donde x ≤ 2y). Para integrar esta función sobre la región D y calcular el volumen, es necesario dividir la región D en estas dos subregiones, siendo la recta x = 2y la frontera entre ellas.