Integrales Dobles y Regiones Elementales: Guía Completa
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Pregunta: ¿Qué es una región elemental de primer tipo en R^2?
Respuesta: Un conjunto acotado D⊆R^2 es de primer tipo si existen funciones continuas ψ1,ψ2:[a,b]→R con ψ1(x)≤ψ2(x) para todo x∈[a,b] y D={(x,y): a≤x≤b y ψ1(x)≤y
Pregunta: ¿Cómo se define una región elemental de segundo tipo en R^2?
Respuesta: D es de segundo tipo si existen funciones continuas φ1,φ2:[c,d]→R con φ1(y)≤φ2(y) para todo y∈[c,d] y D={(x,y): c≤y≤d y φ1(y)≤x≤φ2(y)}.
Pregunta: ¿Qué significa que una región sea de tercer tipo?
Respuesta: Una región es de tercer tipo si es simultáneamente de primer y segundo tipo (es decir, cumple las definiciones de ambos tipos).
Pregunta: Si D es una región elemental y f es continua en D, cómo se define f* en el rectángulo que contiene a D?
Respuesta: f*(x,y)=f(x,y) si (x,y)∈D y f*(x,y)=0 si (x,y)∈[a,b]×[c,d]−D, donde [a,b]×[c,d] contiene a D.
Pregunta: ¿Cuál es la utilidad de la función extendida f* respecto a la integrabilidad?
Respuesta: f* cumple el criterio de integrabilidad en el rectángulo contenedor, lo que permite calcular la integral doble sobre D como la integral sobre el rectá
Pregunta: Escribe la expresión de la integral doble sobre una región de primer tipo D en términos de integrales iteradas.
Respuesta: Si D es de primer tipo D={(x,y): a≤x≤b, ψ1(x)≤y≤ψ2(x)}, entonces ∬_D f(x,y)dA = ∫_a^b (∫_{ψ1(x)}^{ψ2(x)} f(x,y) dy) dx.
Pregunta: Escribe la expresión de la integral doble sobre una región de segundo tipo D en términos de integrales iteradas.
Respuesta: Si D es de segundo tipo D={(x,y): c≤y≤d, φ1(y)≤x≤φ2(y)}, entonces ∬_D f(x,y)dA = ∫_c^d (∫_{φ1(y)}^{φ2(y)} f(x,y) dx) dy.
Pregunta: ¿Cómo se calcula el área de una región elemental de primer tipo D?
Respuesta: Si D es de primer tipo con D={(x,y): a≤x≤b, u(x)≤y≤v(x)}, entonces A(D)=∫_a^b ∫_{u(x)}^{v(x)} 1 dy dx.
Pregunta: ¿Cómo se calcula el volumen del sólido limitado superiormente por z=f(x,y) y con base D (región elemental de primer tipo)?
Respuesta: V(S)=∬_D |f(x,y)| dA = ∫_a^b ∫_{u(x)}^{v(x)} |f(x,y)| dy dx, cuando D es de primer tipo.
Pregunta: Si un sólido tiene base D (región elemental) y altura constante h, cuál es su volumen?
Respuesta: V = ∫_a^b ∫_{u(x)}^{v(x)} h dy dx = h·A(D). (Análogo para segundo tipo con integrales en y.)