Resumen de Integrales Dobles y Regiones Elementales

## Introducción Breve repaso de conceptos fundamentales sobre integrales dobles aplicadas a regiones elementales en el plano. Aprenderás cómo describir regiones simples (elementales), cómo formular integrales dobles sobre ellas y cómo usar estas integrales para calcular áreas y volúmenes. ## 1. Regiones elementales: idea principal > **Definición:** Diremos que el conjunto acotado $D\subset\mathbb{R}^2$ es una **región elemental de primer tipo** si existen funciones continuas $\psi_1,\,\psi_2:[a,b]\to\mathbb{R}$ tales que, para todo $x\in[a,b]$ se cumple $\psi_1(x)\le\psi_2(x)$ y > $$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; a\le x\le b\;\wedge\;\psi_1(x)\le y\le\psi_2(x)\right\}.$$ > **Definición:** Diremos que $D$ es una **región elemental de segundo tipo** si existen funciones continuas $\varphi_1,\,\varphi_2:[c,d]\to\mathbb{R}$ tales que, para todo $y\in[c,d]$ se cumple $\varphi_1(y)\le\varphi_2(y)$ y > $$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; c\le y\le d\;\wedge\;\varphi_1(y)\le x\le\varphi_2(y)\right\}.$$ > **Definición:** Una **región elemental de tercer tipo** es aquella que es simultáneamente de primer y segundo tipo. ### Interpretación geométrica - Regiones de primer tipo: se describen como conjuntos de segmentos verticales que varían con $x$. - Regiones de segundo tipo: se describen como conjuntos de segmentos horizontales que varían con $y$. - Regiones de tercer tipo: se pueden describir de ambas formas; útil para elegir el orden de integración. ## 2. Integrales sobre dominios planos más generales Si $D$ es una región elemental y $f:D\to\mathbb{R}$ es continua, extendemos $f$ a un rectángulo contenedor $[a,b]\times[c,d]$ definiendo $$f^*(x,y)=\begin{cases} f(x,y), & (x,y)\in D,\\ 0, & (x,y)\in [a,b]\times[c,d]\setminus D. \end{cases}$$ Entonces $f^*$ es integrable sobre el rectángulo y la integral sobre $D$ se obtiene restringiendo los límites. ### Fórmulas según el tipo de región - Si $D$ es de primer tipo: $$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)} f(x,y)\,dy\right) dx.$$ - Si $D$ es de segundo tipo: $$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \left(\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\,dx\right) dy.$$ - Si $D$ es de tercer tipo, puedes usar cualquiera de las dos expresiones anteriores según convenga. ### Observaciones prácticas - Elegir el tipo que simplifique la integración (a veces cambiar el orden facilita el cálculo, aunque no se desarrollará aquí el tema del cambio de orden). - Si $D=D_1\cup D_2$ y $D_1\cap D_2$ tiene medida cero (por ejemplo una curva), entonces $$\iint_D f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f.$$ Esto permite dividir regiones complejas en regiones elementales. ## 3. Cálculo de áreas y volúmenes > **Área de una región elemental (primer tipo):** Si $D$ es de primer tipo entonces > $$A(D)=\iint_D 1\,dA = \int_a^b \left(\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)} 1\,dy\right) dx = \int_a^b \bigl(\psi_2(x)-\psi_1(x)\bigr) dx.$$ > **Volumen bajo una superficie:** Si $S$ es el sólido limitado por $z=f(x,y)$ (con $(x,y)\in D$) y el plano $z=0$, entonces > $$V(S)=\iint_D |f(x,y)|\,dA.$$ > En particular, si $f(x,y)\ge 0$ en $D$: > $$V(S)=\iint_D f(x,y)\,dA.$$ > **Sólido con base $D$ y altura constante $h$:** > $$V = h\,A(D).$$ Las mismas fórmulas aplican cuando $D$ es de segundo tipo, usando los límites en $y$ primero. ## Tabla comparativa: primer tipo vs segundo tipo | Característica | Primer tipo | Segundo tipo | |---|---:|---:| | Variables que definen los límites | $y$ entre $\psi_1(x)$ y $\psi_2(x)$ | $x$ entre $\varphi_1(y)$ y $\varphi_2(y)$ | | Orden de integración | $\int_a^b\left(\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)} \cdot\,dy\right)dx$ | $\int_c^d\left(\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} \cdot\,dx\right)dy$ | | Geometría | segmentos verticales | segmentos horizontales | | Uso conveniente cuando | curvas dadas como $y=g(x)$ | curvas dadas como $x=h(y)$ | ## Ejemplos resueltos 1) Área de la región $\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;0\le y\le 2,\; y-1\le x\le e^y\}$. - Aquí la descripción ya da $y