Integrales Dobles en Cálculo Multivariable: Guía Completa
20 preguntas
A. Ano
B. Ne
Explicación: Para calcular la integral iterada Z π − π Z 1 0 y cos( xy ) dx dy, primero resolvemos la integral interna con respecto a x, tratando y como una constante. La integral de y cos(xy) dx es sin(xy). Evaluando desde x=0 hasta x=1 obtenemos sin(y*1) - sin(y*0) = sin(y) - 0 = sin(y). Luego, resolvemos la integral externa con respecto a y: Z π − π sin(y) dy. Dado que sin(y) es una función impar y el intervalo de integración [-π, π] es simétrico alrededor de cero, el valor de esta integral es 0. Por lo tanto, la afirmación de que el valor de la integral es 1 es falsa.
A. Ano
B. Ne
Explicación: Según los materiales de estudio, el Problema 3, inciso c), solicita explícitamente "Usando una integral, calcule el volumen de la pirámide". Esto indica que la integral es un método requerido para el cálculo del volumen, no excluido, y que la fórmula geométrica conocida se utiliza para verificar el resultado, no como el único método de cálculo.
A. Ano
B. Ne
Explicación: El Problema 9b de la Guía 5 específicamente solicita "Expresar el volumen de S mediante integrales dobles en coordenadas cartesianas: (b) En el orden dz dx", lo que implica que es posible realizar dicha expresión y no que sea imposible.
A. Ano
B. Ne
Explicación: La región D está definida por 0 ≤ x ≤ 2 y x ≤ y ≤ 2x. Geométricamente, esta región es un triángulo con vértices en (0,0), (2,2) y (2,4). Para cambiar el orden de integración de dy dx a dx dy, se deben determinar los límites de x en función de y. Observando la región, para 0 ≤ y ≤ 2, x varía desde la curva y=2x (o x=y/2) hasta la curva y=x (o x=y). Sin embargo, para 2 ≤ y ≤ 4, x varía desde la curva y=2x (o x=y/2) hasta la línea x=2. Dado que el límite superior de x cambia en y=2, es necesario dividir la integral en dos partes, una para 0 ≤ y ≤ 2 y otra para 2 ≤ y ≤ 4, resultando en dos integrales separadas.
A. Ano
B. Ne
Explicación: La integral Z 1 − 1 Z y 2 0 ( x 2 + y ) dx dy, presentada en el Problema 7 de los materiales de estudio, tiene límites de integración para la integral interna (de 0 a y^2) que dependen de la variable de la integral externa (y), lo que la clasifica como una integral iterada con límites variables.