Resumen de Integrales Dobles en Cálculo Multivariable

## Introducción El cálculo en varias variables estudia funciones de más de una variable, integrales dobles y triples, y la relación entre geometría y medida en dimensiones superiores. En esta guía abordaremos integrabilidad de funciones con conjuntos de singularidad pequeños, cambio de orden de integración, cálculo de áreas y volúmenes por integración y algunos ejemplos prácticos. > **Definición:** Una función $f$ es integrable en un rectángulo $R\subset\mathbb{R}^2$ si la integral doble $\int\!\!_R f(x,y)\,dA$ existe y coincide con los límites apropiados de sumas de Riemann. ## Conceptos clave divididos ### 1. Conjuntos de medida nula y efectos en integrabilidad - Geométricamente, un conjunto de medida nula en $\mathbb{R}^2$ es aquel cuya "área" es cero, por ejemplo curvas rectificables, rectas y puntos. - Si una función difiere de otra solo sobre un conjunto de medida nula, ambas tienen la misma integral sobre un dominio acotado. > **Definición:** Un conjunto $E\subset\mathbb{R}^2$ tiene medida nula si para todo $\epsilon>0$ existe una colección de rectángulos que cubre $E$ cuya suma de áreas es menor que $\epsilon$. Ejemplo práctico: Si $f(x,y)=1$ cuando $y=x$ y $f(x,y)=0$ en otro caso sobre $R=[0,1]\times[0,1]$, la línea $y=x$ es una recta (dimensión 1) y tiene medida nula en $\mathbb{R}^2$, por lo que la integral de $f$ sobre $R$ es $0$. ### 2. Integrabilidad cuando hay excepciones en conjuntos de medida nula - Si $g$ es integrable y $f=g$ salvo en un conjunto de medida nula, entonces $f$ también es integrable y tienen la misma integral. - Aplicación: cambiar el valor de una función en una recta o un conjunto finito no altera la integral. ### 3. Integrales iteradas y cambio de orden - Para regiones dadas por desigualdades del tipo $a\le x\le b$, $\phi_1(x)\le y\le\phi_2(x)$, la integral doble se escribe como $\int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$. - Cambiar el orden requiere describir la proyección sobre el eje $y$ y escribir límites de $x$ en función de $y$. > **Definición:** Si $D$ es una región acotada y $f$ es continua en $D$, entonces $\iint_D f(x,y)\,dA=\int_{y_{min}}^{y_{max}}\int_{x_{min}(y)}^{x_{max}(y)} f(x,y)\,dx\,dy$ siempre que se describa correctamente la región en ambos órdenes. Tabla comparativa: cambio de orden | Forma original | Proyección | Límite alterno | |---|---:|---| | $\int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}$ | intervalo en $y$ | $\int_{y_0}^{y_1}\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}$ | | regiones con curvas | requiere inversión de funciones | resolver para $x$ en término de $y$ | ### 4. Cálculo de volumen por secciones (método de los discos/rectángulos) - Si un sólido tiene secciones transversales a lo largo de un eje que son figuras semejantes cuya área $A(z)$ se conoce en función de la altura $z$, el volumen es $\int_{z_0}^{z_1} A(z)\,dz$. > **Definición:** Para una pirámide recta de base de área $A_0$ y altura $h$, las secciones horizontales a altura $z$ son semejantes a la base con factor de escala $\left(1-\frac{z}{h}\right)$ y su área es $A(z)=A_0\left(1-\dfrac{z}{h}\right)^2$. Ejemplo: Pirámide de base cuadrada de lado $a$ y altura $h$: - Área de la base: $A_0=a^2$. - Lado a altura $z$: $a\left(1-\dfrac{z}{h}\right)$. - Área de sección: $A(z)=a^2\left(1-\dfrac{z}{h}\right)^2$. - Volumen: $$V=\int_0^h a^2\left(1-\dfrac{z}{h}\right)^2\,dz$$ - Evaluando la integral se obtiene $$V=\dfrac{1}{3}a^2 h$$ ### 5. Ejemplos de integrales directas - Integral simple en rectángulo: $$\int_0^1\int_0^2 (x^3+x)\,dy\,dx$$ - Integrar respecto de $y$ produce un factor del largo en $y$. - Integrales con funciones trigonométricas y simetría: si integrando sobre $x\in[-\pi,\pi]$ una función impar en $x$ se obtiene $0$. ### 6. Regiones definidas por desigualdades mixtas - Para regiones como $D=\{(x,y):0\le x\le2,\,x\le y\le 2x\}$, la proyección en $y$ es $0\le y\le4$ y hay que encontrar intervalos de $x$ según $y$. - Procedimiento: despejar por casos o resolver las desigualdades para $x$ en términos