Integrales Dobles en Cálculo Multivariable: Guía Completa
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Pregunta: En R = [0,1] × [0,1], ¿cómo es el conjunto donde f(x,y)=1 para f definida como 1 si y=x y 0 en otro caso?
Respuesta: Es la diagonal del cuadrado, es decir el conjunto {(x,x): 0≤x≤1}, una curva (subconjunto de dimensión 1) dentro de R^2.
Pregunta: ¿Por qué la diagonal {(x,x):0≤x≤1} tiene medida nula en R^2?
Respuesta: Porque es una curva unidimensional inmersa en el plano; cualquier curva rectificable en R^2 tiene área (medida de Lebesgue en R^2) cero.
Pregunta: ¿Por qué la función que vale 1 en la diagonal y 0 en otro caso es integrable en R?
Respuesta: Porque difiere de la función cero solo en un conjunto de medida nula; funciones acotadas que difieren en un conjunto de medida nula son integrables y
Pregunta: ¿Cuál es el valor de la integral doble de esa función sobre R? ∫∫_R f(x,y)dA
Respuesta: La integral es 0, ya que la contribución de la diagonal (medida nula) es nula.
Pregunta: Interpreta geométricamente que la integral doble de f (diagonal) sea cero.
Respuesta: El área ocupada por la diagonal en el plano es nula, por lo que no aporta área al integrar; la integral mide área ponderada y una curva no aporta área
Pregunta: Para f(x,y)=x^2+y^2 en R salvo que para x=1/2 vale −1, ¿qué conjunto difiere de x^2+y^2?
Respuesta: La recta vertical {(1/2,y): 0≤y≤1}, es decir el segmento vertical en x=1/2 dentro del cuadrado R.
Pregunta: ¿Qué dimensión tiene el segmento {(1/2,y):0≤y≤1} dentro de R^2 y por qué tiene medida nula?
Respuesta: Es de dimensión 1 (un segmento) y tiene medida nula en R^2 por ser un conjunto unidimensional en el plano.
Pregunta: ¿Por qué la función que es x^2+y^2 excepto en x=1/2 donde vale −1 es integrable en R?
Respuesta: Porque es acotada y difiere de x^2+y^2 solo en un conjunto de medida nula; por tanto es integrable y su integral coincide con la de x^2+y^2.
Pregunta: ¿Cuál es la integral doble de f sobre R en ese caso?
Respuesta: Es la misma que ∫∫_R (x^2+y^2) dA, ya que el punto o segmento donde cambia no altera la integral (contribución nula).
Pregunta: Interpreta geométricamente por qué cambiar el valor en una recta no altera la integral doble.
Respuesta: Porque la integral doble mide área ponderada y una recta (o segmento) no tiene área, por eso su aporte es cero.