Integrales Definidas y Teorema Fundamental del Cálculo Esencial
20 preguntas
A. Ano
B. Ne
Explicación: La justificación para el error no es que el cálculo de la antiderivada de x − 4 sea incorrecto. La antiderivada de x − 4 es correctamente x − 3 / − 3. El verdadero error radica en que la función f(x) = x − 4 (o 1/x^4) no es continua en x = 0, el cual se encuentra dentro del intervalo de integración [−2, 1]. Por lo tanto, el Teorema Fundamental del Cálculo no puede ser aplicado directamente en esta forma para evaluar la integral, ya que se trata de una integral impropia.
A. Ano
B. Ne
Explicación: La parte 1 del teorema fundamental del cálculo establece que si F(x) = Z a g(x) f(t) dt, entonces F'(x) = f(g(x)) * g'(x). En este caso, la función a derivar tiene f(t) = q t + √ t y el límite superior de integración es g(x) = tan x. Por lo tanto, f(g(x)) = q tan x + √ tan x. La derivada de g(x) = tan x es g'(x) = sec^2 x. Multiplicando estos dos componentes, se obtiene q tan x + √ tan x * sec^2 x.
A. Ano
B. Ne
Explicación: Según el problema 1 de los materiales de estudio, se pide estimar el área bajo f(x) = cos x desde x = 0 hasta x = π/2 usando puntos extremos de la izquierda. La función f(x) = cos x es decreciente en este intervalo. Cuando una función es decreciente, el uso de los puntos extremos de la izquierda para formar los rectángulos de aproximación siempre produce alturas de rectángulo que están por encima de la curva, lo que lleva a una estimación por exceso o sobrestimación del área real.
A. Ano
B. Ne
Explicación: Para evaluar la integral definida Z 2 - 1 ( x 3 − 2 x ) dx, se encuentra la antiderivada F(x) = (x^4)/4 - x^2. Luego se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo, evaluando F(2) - F(-1). F(2) = (2^4)/4 - 2^2 = 16/4 - 4 = 4 - 4 = 0. F(-1) = (-1)^4/4 - (-1)^2 = 1/4 - 1 = -3/4. Por lo tanto, la integral es 0 - (-3/4) = 3/4. Este valor es positivo, no negativo.
A. Ano
B. Ne
Explicación: Para la función f(x) = cos x en el intervalo [0, π/2], la función es decreciente. Cuando se utilizan los puntos extremos de la derecha para aproximar el área de una función decreciente, la altura de cada rectángulo es menor o igual al valor real de la función en el inicio del subintervalo, lo que lleva a que los rectángulos queden por debajo de la curva, resultando en una subestimación del área.