Integrales Definidas y Teorema Fundamental del Cálculo Esencial
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Pregunta: ¿Cómo estimar el área bajo f(x)=cos x en [0, π/2] usando 4 rectángulos con puntos extremos derechos? ¿La estimación es sobreestimación o subestimación
Respuesta: Dividir [0,π/2] en 4 subintervalos de longitud Δx=(π/2)/4=π/8. Tomar alturas f(x_i) en los extremos derechos x_i=i·π/8 (i=1..4), sumar Σ f(x_i)Δx. Com
Pregunta: ¿Cómo cambia la estimación anterior si se usan los puntos extremos izquierdos?
Respuesta: Con extremos izquierdos tomar x_i=(i−1)·π/8 (i=1..4) y sumar Σ f(x_i)Δx. Para cos x decreciente, usar izquierdos da sobreestimación.
Pregunta: Para f(x)=e^x−2 en [0,2], ¿cómo calcular la suma de Riemann con n=4 usando puntos medios y qué representa esa suma?
Respuesta: Dividir [0,2] en 4 subintervalos Δx=0.5. Para cada subintervalo tomar el punto medio m_i y sumar Σ (e^{m_i}−2)·Δx. La suma aproxima el área bajo la cu
Pregunta: Según la parte 1 del teorema fundamental del cálculo, ¿cómo se obtiene la derivada de F(x)=∫_{1}^{x} (t^3+1) dt?
Respuesta: F'(x)=f(x)=x^3+1.
Pregunta: ¿Cuál es la derivada de G(x)=∫_{1}^{e^x} ln t \,dt usando la regla de la cadena?
Respuesta: G'(x)=ln(e^x)·(d/dx)(e^x)=x·e^x.
Pregunta: Calcule la derivada de H(x)=∫_{0}^{x} (q t + √t) \,dt (nota: integrando q t + √t).
Respuesta: H'(x)=q x + √x (por el teorema fundamental del cálculo, evaluando el integrando en x).
Pregunta: ¿Cómo se deriva F(x)=∫_{x}^{π} √(1+sec t) \,dt?
Respuesta: Usando la regla para límite superior constante: F'(x)=−√(1+sec x).
Pregunta: ¿Cuál es la derivada de K(x)=∫_{sin x}^{1} √(1+t^2) \,dt?
Respuesta: K'(x)=−√(1+(sin x)^2)·cos x (por regla de la cadena, derivando el límite inferior sin x).
Pregunta: ¿Cómo aplicar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo cuando el integrando y los límites dependen de x?
Respuesta: Si F(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt entonces F'(x)=f(b(x))·b'(x)−f(a(x))·a'(x).
Pregunta: Evalúe la integral ∫_{−1}^{2} (x^3−2x) dx (procedimiento breve).
Respuesta: Antiderivada: (1/4)x^4−x^2. Evaluar de −1 a 2: [(1/4)16−4]−[(1/4)1−1]= (4−4)−(0.25−1)=0−(−0.75)=0.75=3/4.