Resumen de Integrales Definidas y Teorema Fundamental del Cálculo
Integrales Definidas y Teorema Fundamental del Cálculo Esencial
Introducción
El cálculo integral estudia cómo acumular cantidades y cómo recuperar funciones a partir de sus tasas de cambio. En esta guía aprenderás a interpretar integrales definidas como áreas, a construir sumas de Riemann, a aplicar el teorema fundamental del cálculo para derivar funciones definidas por integrales y a evaluar integrales básicas.
Definición: Una integral definida $\int_{a}^{b} f(x),dx$ representa el límite de sumas de Riemann que aproximan el área neta entre la curva $y=f(x)$ y el eje $x$ desde $x=a$ hasta $x=b$.
1. Integral definida como área y sumas de Riemann
Concepto básico
- Dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- En cada subintervalo elegir un punto muestral $x_i^$ y construir rectángulos de base $\Delta x$ y altura $f(x_i^)$.
- La suma de Riemann es $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*),\Delta x$ y la integral es el límite cuando $n\to\infty$.
Definición: Si $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces $$\int_{a}^{b} f(x),dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*),\Delta x.$$
Ejemplo práctico: $f(x)=\cos x$ en $[0,\pi/2]$ con $n=4$ y puntos derechos
- $\Delta x = \frac{\pi/2-0}{4} = \frac{\pi}{8}$.
- Puntos derechos: $x_i^* = \frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}$.
- Suma de Riemann derecha: $$S_R = \sum_{i=1}^{4} \cos!\left(x_i^*\right),\Delta x = \frac{\pi}{8}\left(\cos!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\cos!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right)+\cos!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\right).$$
- Observación: $\cos x$ es decreciente en $[0,\pi/2]$, por lo que la suma derecha es una subestimación o sobreestimación? Como cada altura toma el extremo derecho más pequeño, la suma derecha es una subestimación.
Puntos izquierdos
- Puntos izquierdos: $x_i^* = 0,\tfrac{\pi}{8},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{8}$.
- Suma izquierda: $$S_L = \frac{\pi}{8}\left(\cos 0 + \cos!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\cos!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right)\right).$$
- Observación: Al ser decreciente, la suma izquierda sobreestima el área.
💡 Věděli jste?Did you know que la integral exacta $\int_{0}^{\pi/2} \cos x,dx = 1$ porque una antiderivada de $\cos x$ es $\sin x$ y $\sin(\pi/2)-\sin 0 = 1$?
Visualización
- Dibuja la curva $y=\cos x$ en $[0,\pi/2]$ y los rectángulos correspondientes a puntos derechos e izquierdos para ver la sub/sobreestimación.
2. Suma de Riemann con puntos medios
Procedimiento general
- Para $f(x)=e^{x}-2$ en $[0,2]$ con $n=4$:
- $\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$.
- Subintervalos: $[0,0.5],[0.5,1.0],[1.0,1.5],[1.5,2.0]$.
- Puntos medios: $x_i^* = 0.25,0.75,1.25,1.75$.
- Suma de Riemann con puntos medios: $$S_M = \sum_{i=1}^{4} \left(e^{x_i^*}-2\right),\Delta x = 0.5\left( e^{0.25}-2 + e^{0.75}-2 + e^{1.25}-2 + e^{1.75}-2 \right).$$
Definición: La suma de Riemann con puntos medios suele dar una mejor aproximación al valor de la integral que las sumas izquierda o derecha, porque promedia la variación en cada subintervalo.
Interpretación
- La suma de Riemann representa la acumulación neta del valor de la función multiplicada por la longitud del intervalo; geométricamente es la aproximación del área bajo la curva.
Ilustración
- Dibuja $y=e^{x}-2$ en $[0,2]$ y los rectángulos centrados en los puntos medios con base $0.5$.
3. Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 1) y derivadas de funciones definidas por integrales
Enunciado (versión útil)
Si $F(x) = \int_{a}^{x} f(t),dt$ y $f$ es continua en un entorno de $a$ y $x$, entonces $F'(x)=f(x)$.
Aplicaciones: derivadas
- a) Sea $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{t^{3}}{t+1},dt$. Por el teorema, $$F'(x)=\frac{x^{3}}{x+1}.$$
- b) Sea $G(x)=\int_{1}^{e^{x}} \ln(t),dt$. Aquí el límite superior es una función de $x$. Usamos la regla de la cadena: $$G'(x)=\ln!\left(e^{x}\right)\cdot \frac{d}{dx} e^{x} = x e^{x}?$$ Corrige: en realidad $\ln(e^{x})=x$, luego $$G'(x)=x\cdot e^{x}.$$
- c) Sea $H(x)=\int_{0}^{\ta
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Cálculo integral básico
Klíčová slova: Cálculo integral
Klíčové pojmy: La integral definida es el límite de sumas de Riemann., Suma de Riemann: $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$ con $\Delta x=\frac{b-a}{n}$., Puntos izquierdos/derechos generan sobre/sobre/subestimaciones según monotonía., Puntos medios suelen ofrecer mejor aproximación que izquierda/derecha., Teorema fundamental (parte 1): $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)$., Si límite superior es $g(x)$, entonces derivada es $f(g(x))g'(x)$; si límite inferior depende de $x$ añadir signo negativo., Antiderivadas básicas: potencias, $\int\sec^{2}t\,dt=\tan t$, $\int\cos x\,dx=\sin x$., Regla de Leibniz para límites dependientes en ambos extremos., Para hallar integrando desde una igualdad con integrales, derivar ambos lados y aislar $f$., Evaluar integrales por partes del dominio cuando la función es por tramos.