Resumen de Integrales Definidas y Teorema Fundamental del Cálculo

## Introducción El cálculo integral estudia cómo acumular cantidades y cómo recuperar funciones a partir de sus tasas de cambio. En esta guía aprenderás a interpretar integrales definidas como áreas, a construir sumas de Riemann, a aplicar el teorema fundamental del cálculo para derivar funciones definidas por integrales y a evaluar integrales básicas. > Definición: Una integral definida $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ representa el límite de sumas de Riemann que aproximan el área neta entre la curva $y=f(x)$ y el eje $x$ desde $x=a$ hasta $x=b$. ## 1. Integral definida como área y sumas de Riemann ### Concepto básico - Dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. - En cada subintervalo elegir un punto muestral $x_i^*$ y construir rectángulos de base $\Delta x$ y altura $f(x_i^*)$. - La suma de Riemann es $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$ y la integral es el límite cuando $n\to\infty$. > Definición: Si $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x.$$ ### Ejemplo práctico: $f(x)=\cos x$ en $[0,\pi/2]$ con $n=4$ y puntos derechos - $\Delta x = \frac{\pi/2-0}{4} = \frac{\pi}{8}$. - Puntos derechos: $x_i^* = \frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}$. - Suma de Riemann derecha: $$S_R = \sum_{i=1}^{4} \cos\!\left(x_i^*\right)\,\Delta x = \frac{\pi}{8}\left(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\right).$$ - Observación: $\cos x$ es decreciente en $[0,\pi/2]$, por lo que la suma derecha es una subestimación o sobreestimación? Como cada altura toma el extremo derecho más pequeño, la suma derecha es una subestimación. ### Puntos izquierdos - Puntos izquierdos: $x_i^* = 0,\tfrac{\pi}{8},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{8}$. - Suma izquierda: $$S_L = \frac{\pi}{8}\left(\cos 0 + \cos\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right)\right).$$ - Observación: Al ser decreciente, la suma izquierda sobreestima el área. > Did you know que la integral exacta $\int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx = 1$ porque una antiderivada de $\cos x$ es $\sin x$ y $\sin(\pi/2)-\sin 0 = 1$? ### Visualización - Dibuja la curva $y=\cos x$ en $[0,\pi/2]$ y los rectángulos correspondientes a puntos derechos e izquierdos para ver la sub/sobreestimación. ## 2. Suma de Riemann con puntos medios ### Procedimiento general - Para $f(x)=e^{x}-2$ en $[0,2]$ con $n=4$: - $\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$. - Subintervalos: $[0,0.5],[0.5,1.0],[1.0,1.5],[1.5,2.0]$. - Puntos medios: $x_i^* = 0.25,0.75,1.25,1.75$. - Suma de Riemann con puntos medios: $$S_M = \sum_{i=1}^{4} \left(e^{x_i^*}-2\right)\,\Delta x = 0.5\left( e^{0.25}-2 + e^{0.75}-2 + e^{1.25}-2 + e^{1.75}-2 \right).$$ > Definición: La suma de Riemann con puntos medios suele dar una mejor aproximación al valor de la integral que las sumas izquierda o derecha, porque promedia la variación en cada subintervalo. ### Interpretación - La suma de Riemann representa la acumulación neta del valor de la función multiplicada por la longitud del intervalo; geométricamente es la aproximación del área bajo la curva. ### Ilustración - Dibuja $y=e^{x}-2$ en $[0,2]$ y los rectángulos centrados en los puntos medios con base $0.5$. ## 3. Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 1) y derivadas de funciones definidas por integrales ### Enunciado (versión útil) > Si $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ y $f$ es continua en un entorno de $a$ y $x$, entonces $F'(x)=f(x)$. ### Aplicaciones: derivadas - a) Sea $F(x)=\int_{1}^{x} \frac{t^{3}}{t+1}\,dt$. Por el teorema, $$F'(x)=\frac{x^{3}}{x+1}.$$ - b) Sea $G(x)=\int_{1}^{e^{x}} \ln(t)\,dt$. Aquí el límite superior es una función de $x$. Usamos la regla de la cadena: $$G'(x)=\ln\!\left(e^{x}\right)\cdot \frac{d}{dx} e^{x} = x e^{x}?$$ Corrige: en realidad $\ln(e^{x})=x$, luego $$G'(x)=x\cdot e^{x}.$$ - c) Sea $H(x)=\int_{0}^{\ta