Test sobre Independencia de la Trayectoria e Integrales de Línea

Independencia de la Trayectoria e Integrales de Línea

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Pregunta 1 de 50%

Un campo vectorial F = (F1, F2..., FN) de clase C2 sobre un conjunto abierto y convexo U de RN es un campo gradiente si y solo si la derivada parcial de Fj con respecto a xi es igual a la derivada parcial de Fi con respecto a xj para todo i diferente de j.

Cálculo vectorial

20 preguntas

Pregunta 1: Un campo vectorial F = (F1, F2..., FN) de clase C2 sobre un conjunto abierto y convexo U de RN es un campo gradiente si y solo si la derivada parcial de Fj con respecto a xi es igual a la derivada parcial de Fi con respecto a xj para todo i diferente de j.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el teorema, un campo vectorial F de clase C2 sobre un conjunto abierto y convexo U de RN es un campo gradiente si y solo si se cumple que la derivada parcial de Fj con respecto a xi es igual a la derivada parcial de Fi con respecto a xj para todo i distinto de j. Esta condición es necesaria y suficiente.

Pregunta 2: La condición de que las derivadas parciales cruzadas de un campo vectorial F sean iguales (∂Fj/∂xi = ∂Fi/∂xj) es suficiente para garantizar que la integral de línea de F sea independiente del camino en cualquier dominio abierto y conexo.

A. Ano

B. Ne

Explicación: No, esta afirmación es incorrecta. Los materiales de estudio presentan un ejemplo clásico de un campo vectorial F en el dominio U = R^2 - {(0,0)}, que es abierto y conexo. En este ejemplo, se verifica que ∂M/∂y = ∂N/∂x. Sin embargo, la integral de línea de F alrededor de una curva cerrada en U (un círculo unitario) es 2π, lo que no es cero. Según el Teorema de Equivalencias, si la integral de línea alrededor de toda curva cerrada no es igual a 0, entonces la integral de F no es independiente de la trayectoria. Esto demuestra que la igualdad de las derivadas parciales cruzadas no es una condición suficiente para la independencia del camino en *cualquier* dominio abierto y conexo, a menos que se cumplan condiciones adicionales sobre el dominio, como ser convexo, como se especifica en el teorema de la condición necesaria y suficiente para que un campo sea gradiente.

Pregunta 3: En el ejemplo proporcionado en los materiales de estudio, el valor de la integral Z P Q z 2 dx + 2 y dy + 2 xz dz es igual a 23.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio calculan la integral Z P Q z 2 dx + 2 y dy + 2 xz dz utilizando la función potencial f(x, y, z) = xz 2 + y 2. Con P = (1, 1, -1) y Q = (-1, 2, 5), se obtiene f(Q) - f(P) = ((-1) · 5 2 + 2 2 ) - (1 + 1) = (-25 + 4) - (2) = -21 - 2 = -23. Por lo tanto, el valor de la integral es -23, no 23.

Pregunta 4: Si un campo vectorial \( \vec{F} \) es el gradiente de una función \( f \) de clase \( C^1 \), entonces la integral de línea de \( \vec{F} \) a lo largo de una curva \( \gamma \) que une dos puntos \( P \) y \( Q \) siempre depende de la forma específica de la curva \( \gamma \).

A. Ano

B. Ne

Explicación: Si \( \vec{F} \) es el gradiente de una función \( f \) de clase \( C^1 \), la integral de línea \( \int_\gamma \vec{F} \cdot d\vec{r} \) es igual a \( f(Q) - f(P) \). Por lo tanto, el valor de la integral no depende de la curva \( \gamma \) que une \( P \) con \( Q \), sino únicamente de los puntos inicial y final.

Pregunta 5: Para el campo vectorial F(x, y) = (-y/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2)) en el dominio U = R^2 - {(0, 0)}, la integral de línea alrededor de la curva cerrada r(t) = (cos(t), sen(t)) para t "element_of" [0, 2pi] es no nula.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El ejemplo clásico en los materiales de estudio establece que para el campo vectorial dado y la curva cerrada r(t) = (cos(t), sen(t)), la integral es igual a 2pi, lo cual es distinto de cero. Por lo tanto, la integral de línea es no nula.

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Pregunta 1: Un campo vectorial F = (F1, F2..., FN) de clase C2 sobre un conjunto abierto y convexo U de RN es un campo gradiente si y solo si la derivada parcial de Fj con respecto a xi es igual a la derivada parcial de Fi con respecto a xj para todo i diferente de j.

A. Ano

B. Ne

Pregunta 2: La condición de que las derivadas parciales cruzadas de un campo vectorial F sean iguales (∂Fj/∂xi = ∂Fi/∂xj) es suficiente para garantizar que la integral de línea de F sea independiente del camino en cualquier dominio abierto y conexo.

A. Ano

B. Ne

Pregunta 3: En el ejemplo proporcionado en los materiales de estudio, el valor de la integral Z P Q z 2 dx + 2 y dy + 2 xz dz es igual a 23.

A. Ano

B. Ne

Pregunta 4: Si un campo vectorial \( \vec{F} \) es el gradiente de una función \( f \) de clase \( C^1 \), entonces la integral de línea de \( \vec{F} \) a lo largo de una curva \( \gamma \) que une dos puntos \( P \) y \( Q \) siempre depende de la forma específica de la curva \( \gamma \).

A. Ano

B. Ne

Pregunta 5: Para el campo vectorial F(x, y) = (-y/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2)) en el dominio U = R^2 - {(0, 0)}, la integral de línea alrededor de la curva cerrada r(t) = (cos(t), sen(t)) para t "element_of" [0, 2pi] es no nula.

A. Ano

B. Ne