Independencia de la Trayectoria e Integrales de Línea
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Pregunta: Si F es campo vectorial gradiente de una función f∈C^1 en un abierto A y γ es una curva en A que une P con Q, cómo se expresa la integral de línea ∫_γ
Respuesta: ∫_γ F·dr = ∫_a^b ∇f(r(t))·r'(t) dt = ∫_a^b (f∘r)'(t) dt = f(r(b))−f(r(a)).
Pregunta: Qué consecuencia tiene la expresión de la integral de un campo gradiente respecto a la dependencia del camino entre dos puntos P y Q en A?
Respuesta: El valor de la integral ∫_γ F·dr depende sólo de los puntos extremos: ∫_γ F·dr = f(Q)−f(P); por tanto no depende de la curva γ que una P con Q.
Pregunta: En un conjunto abierto y conexo U, cuál es el valor de la integral de línea de un campo gradiente continuo sobre cualquier curva cerrada C contenida e
Respuesta: La integral es igual a cero sobre toda curva cerrada seccionalmente regular C contenida en U.
Pregunta: Qué afirma el teorema sobre una función f si ∇f = 0 en un conjunto abierto y conexo U?
Respuesta: Si ∇f = 0 en U entonces f es constante en U.
Pregunta: Cómo se define que la integral de un campo vectorial F no depende del camino que une dos puntos P y Q en un dominio abierto y conexo A?
Respuesta: Se dice que no depende del camino si para cualesquiera curvas γ y ζ en A que unan P y Q se cumple ∫_γ F·dr = ∫_ζ F·dr.
Pregunta: ¿Qué significa que la integral de un campo vectorial F no depende del camino que une dos puntos P y Q en A?
Respuesta: Significa que para cualquier par de curvas γ y ζ en A que unen P y Q, se cumple ∫_γ F·dr = ∫_ζ F·dr; la integral entre P y Q solo depende de los punto
Pregunta: ¿Cómo se denota la integral de un campo vectorial F entre dos puntos Q y P cuando la integral no depende del camino?
Respuesta: Se anota ∫_Q^P F·dr.
Pregunta: Dado el campo diferencial expresado por z^2 dx + 2y dy + 2xz dz, ¿qué función f(x,y,z) se propone como potencial en el ejemplo?
Respuesta: f(x,y,z) = x z^2 + y^2.
Pregunta: ¿Cómo se verifica que f(x,y,z)=x z^2 + y^2 es función potencial del campo (z^2, 2y, 2xz)?
Respuesta: Calculando el gradiente: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (z^2, 2y, 2xz), que coincide con el campo dado.
Pregunta: Usando la función potencial f(x,y,z)=x z^2 + y^2, ¿cómo se calcula ∫_P^Q z^2 dx + 2y dy + 2xz dz para P=(1,1,-1) y Q=(-1,2,5)?
Respuesta: ∫_P^Q ... = f(Q) − f(P) = [(-1)·5^2 + 2^2] − [1·(-1)^2 + 1^2] = ( -25 + 4 ) − (1 + 1) = -23.