Resumen de Independencia de la Trayectoria e Integrales de Línea

## Introducción El cálculo vectorial estudia campos vectoriales, integrales de línea y condiciones que permiten simplificar cálculos usando funciones potenciales. En este material verás qué significa que una integral de línea no dependa del camino, cómo reconocer campos gradiente y cómo usar estas ideas para calcular integrales de forma directa. ## 1. Independencia de caminos: idea principal > **Definición:** Sea $\mathbf{F}:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ un campo vectorial con $A$ dominio abierto y conexo. Diremos que la integral de $\mathbf{F}$ no depende del camino que une $P$ con $Q$ si para cualesquiera curvas $\gamma$ y $\zeta$ contenidas en $A$ que unen $P$ y $Q$ se cumple $$\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{\zeta}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$ Si esto ocurre para todo par de puntos $P,Q\in A$ decimos simplemente que la integral no depende del camino. ### Interpretación - Si la integral no depende del camino, el valor solo depende de los extremos $P$ y $Q$. - Esto permite calcular integrales de línea evaluando una función potencial en los extremos en lugar de integrar a lo largo de una curva complicada. ## 2. Campos gradiente y función potencial > **Definición:** Un campo vectorial $\mathbf{F}$ es un **campo gradiente** si existe una función $f:A\to\mathbb{R}$ tal que $\mathbf{F}=\nabla f$, es decir, $\mathbf{F}(x)=\bigl(\partial_{x_1}f,\dots,\partial_{x_n}f\bigr)$. ### Propiedad clave (Teorema del valor de la integral para gradientes) Si $f$ es de clase $C^1$ en $A$ y $\mathbf{F}=\nabla f$, y si $\gamma$ es una curva parametrizada por $\mathbf{r}(t)$, $a\le t\le b$, que une $P$ con $Q$, entonces $$\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a)) = f(Q) - f(P).$$ Por tanto, la integral no depende del camino y basta conocer la función potencial $f$. ## 3. Condiciones equivalentes en un dominio abierto y conexo > **Teorema (Equivalencias):** Sea $\mathbf{F}$ continuo en $U$ abierto y conexo. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. $\mathbf{F}$ es gradiente de alguna función $f$ en $U$. 2. La integral de línea de $\mathbf{F}$ es independiente de la trayectoria en $U$. 3. La integral de línea de $\mathbf{F}$ alrededor de toda curva cerrada seccionalmente regular contenida en $U$ es cero. ## 4. Condición diferenciable (criterio de igualdad de derivadas mixtas) > **Teorema (Condición necesaria y suficiente en dominios convexos):** Sea $\mathbf{F}=(F_1,\dots,F_n)$ de clase $C^2$ en un conjunto abierto y convexo $U\subset\mathbb{R}^n$. Entonces $\mathbf{F}$ es gradiente si y solo si $$\frac{\partial F_j}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}\qquad \forall\;i\ne j.$$ - En $\mathbb{R}^2$: $\partial_y F_1 = \partial_x F_2$. - En $\mathbb{R}^3$: las tres condiciones equivalentes a que $\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$ son $$\partial_y F_1 = \partial_x F_2$$ $$\partial_z F_1 = \partial_x F_3$$ $$\partial_z F_2 = \partial_y F_3$$ Nota: La convexidad (o, más generalmente, la simple conectividad del dominio) es importante: en dominios con agujeros las condiciones anteriores pueden cumplirse sin que $\mathbf{F}$ sea gradiente. ## 5. Ejemplos resueltos ### Ejemplo 1 (uso de función potencial) Calcular la integral entre $P=(1,1,-1)$ y $Q=(-1,2,5)$ de $$\int_{P}^{Q} z^{2}\,dx + 2y\,dy + 2xz\,dz.$$ Observa que la función $$f(x,y,z)=xz^{2}+y^{2}$$ cumple $$\nabla f(x,y,z) = (z^{2},\;2y,\;2xz).$$ Como el campo es gradiente, por la propiedad de gradientes $$\int_{P}^{Q} z^{2}\,dx + 2y\,dy + 2xz\,dz = f(Q) - f(P).$$ Calcula: $$f(Q)=(-1)\cdot 5^{2} + 2^{2} = -25 + 4 = -21$$ $$f(P)=1\cdot(-1)^{2} + 1^{2} = 1 + 1 = 2$$ Por tanto $$\int_{P}^{Q} z^{2}\,dx + 2y\,dy + 2xz\,dz = -21 - 2 = -23.$$ ### Ejemplo 2 (campo con derivadas cruzadas iguales pero no gradiente) Considera el campo en $U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$: $$\mathbf{F}(x,y)=\left( -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}},\; \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).$$ Se verifica que $\partial_y F_