Resumen de Identidades con Funciones Trigonométricas Inversas

## Introducción Las identidades trigonométricas permiten relacionar funciones como \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) entre sí y con ángulos compuestos o inversos. Son herramientas esenciales en cálculo, física e ingeniería para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas. > Definición: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todos los valores del ángulo en el dominio común de las funciones involucradas. ## Conceptos clave y recordatorios - Ángulos y funciones trigonométricas básicas: \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\sec\), \(\csc\), \(\cot\). - Relaciones fundamentales: identidad pitagórica y relaciones recíprocas. > Definición: Identidad pitagórica: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\). > Definición: Relaciones recíprocas: \(\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}\), \(\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}\), \(\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\). ## Identidades con funciones inversas Cuando aparecen funciones trigonométricas inversas (como \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)), conviene usar un ángulo auxiliar para interpretar la igualdad y, si es necesario, construir triángulos rectángulos. ### Ejemplo 1: Identidad con \(\arctan\) Demostrar que \(\arctan a + \arctan b = \arctan c\) requiere expresar \(a\) y \(b\) como tangentes de ángulos auxiliares y aplicar la fórmula de la tangente de una suma. En el material original se trabajó con números concretos; aquí está el método general: Sea \(\alpha = \arctan a\), \(\beta = \arctan b\). Entonces \(\tan\alpha = a\), \(\tan\beta = b\). Usamos $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = \frac{a + b}{1 - ab}.$$ Si \(c = \frac{a + b}{1 - ab}\) y el ángulo pertenece al rango correcto, entonces $$\arctan a + \arctan b = \arctan c.$$ > Ejemplo concreto: probar que \(\arctan\left(\tfrac{1}{7}\right) + \arctan\left(\tfrac{1}{13}\right) = \arctan\left(\tfrac{2}{9}\right)\). Sea \(\alpha = \arctan\left(\tfrac{1}{7}\right)\), \(\beta = \arctan\left(\tfrac{1}{13}\right)\). Entonces $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{13}}{1 - \tfrac{1}{7}\tfrac{1}{13}} = \frac{\tfrac{20}{91}}{1 - \tfrac{1}{91}} = \frac{\tfrac{20}{91}}{\tfrac{90}{91}} = \tfrac{20}{90} = \tfrac{2}{9}.$$ Por tanto $$\arctan\left(\tfrac{1}{7}\right) + \arctan\left(\tfrac{1}{13}\right) = \arctan\left(\tfrac{2}{9}\right).$$ ### Ejemplo 2: Relación \(\sin(\arccos x)\) Si \(\alpha = \arccos x\) entonces \(\cos\alpha = x\). Construyendo el triángulo rectángulo auxiliar con cateto adyacente \(x\) e hipotenusa \(1\), se obtiene $$\sin(\arccos x) = \sin\alpha = \sqrt{1 - x^2}.$$ Hay que considerar el signo: para el rango principal de \(\arccos\) (\([0,\pi]\)) la seno es \(\ge 0\) en \([0,\tfrac{\pi}{2}]\) y \(\le 0\) en \((\tfrac{\pi}{2},\pi]\); sin embargo la raíz principal \(\sqrt{1-x^2}\) da el valor no negativo. Por convención, para \(x\in[-1,1]\) se usa \(\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}\) cuando el ángulo está en \([0,\tfrac{\pi}{2}]\). En general debe cuidarse el signo según el cuadrante. ### Ejemplo 3: Suma de \(\arcsin\) Demostrar que $$2\arcsin\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2\arcsin\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\right) = \pi$$ se puede reescribir usando ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) tales que \(\sin\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin\beta = \tfrac{2}{\sqrt{5}}\). Si se quiere probar que \(\alpha + \beta = \tfrac{\pi}{2}\), basta mostrar que \(\sin(\alpha + \beta) = 1\). Usando la identidad de la suma: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha.$$ Con \(\cos\alpha = \tfrac{2}{\sqrt{5}}\) y \(\cos\beta = \tfrac{1}{\sqrt{5}}\) (de triángulos auxiliares), se obtiene $$\sin(\alpha + \beta) = \tfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{5}} + \tfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}} = \tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5} = 1.$$ Por tanto \(\alpha + \beta = \tfrac{\pi}{2}\) y la suma de los arcsenos da \(\pi\) según el enunciado original (hay que ajustar factores 2 según el enunciado concreto). ### Ejemplo 4