Resumen de Hipótesis de Falla de Materiales
Hipótesis de Falla de Materiales: Guía para Estudiantes
Introducción
La unidad trata las principales hipótesis de rotura de materiales bajo estados combinados de tensiones. Se analiza cómo decidir si un material falla según diferentes criterios (Rankine, Tresca-Guest, Huber–von Mises–Hencky, y la teoría de Mohr), cómo calcular tensiones principales y tensiones de comparación, y aplicaciones prácticas en diseño y análisis estructural.
Definición: Una hipótesis de rotura es una regla que relaciona el estado de tensiones en un punto con la resistencia última o de admisión del material para predecir la falla.
Conceptos introductorios
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Para un elemento plano las tensiones en coordenadas cartesianas son $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$. Debemos obtener las tensiones principales $\sigma_1$, $\sigma_2$ y la máxima tensión cortante $\tau_{max}$.
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Fórmula para tensiones principales en 2D: $$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
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Tensión cortante máxima: $$\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
Definición: Tensión de comparación $\sigma_{comp}$ es una combinación escalar de componentes de tensión usada por cada hipótesis para comparar con la resistencia del material.
Ejemplo práctico rápido
Suponga acero con límite de fluencia $\sigma_f = 2400\ \text{Kg/cm}^2$ y estado: $\sigma_x = 2000\ \text{Kg/cm}^2$, $\sigma_y = 1700\ \text{Kg/cm}^2$, $\tau_{xy} = 1100\ \text{Kg/cm}^2$. Calcule $\sigma_1$: $$\sigma_1 = \frac{2000 + 1700}{2} + \sqrt{\left(\frac{2000 - 1700}{2}\right)^2 + 1100^2}$$ Sustituyendo se obtiene $\sigma_1 \approx 2960\ \text{Kg/cm}^2$, mayor que $\sigma_f$, por lo que en criterios basados en $\sigma_1$ falla.
Hipótesis de Rankine (máxima tensión principal normal)
- Aplicable a materiales frágiles o cuasi frágiles (fundición, hormigón en tracción, cerámicos).
- Condición de rotura: falla si la máxima tensión principal alcanza la resistencia a tracción $\sigma_f$ o si la mínima tensión principal alcanza la resistencia a compresión $\sigma'_f$.
Condición general: $$|\sigma_{1,2}| \leq \sigma_f$$
- Para estados simples, dobles o triples se consideran los valores correspondientes de $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$.
Tabla comparativa (Rankine):
| Estado | Condición de rotura |
|---|---|
| Tracción simple | $\sigma_1 = \sigma_f$ |
| Compresión simple | $\sigma_3 = -\sigma_f'$ |
| Corte puro | $\tau_{rot} = \sigma_f$ (según Rankine) |
Hipótesis de Tresca-Guest (máxima tensión de corte)
- Más apropiada para materiales muy dúctiles (acero dulce).
- Condición de rotura: la falla ocurre cuando la máxima tensión cortante alcanza la máxima tensión cortante observada en ensayo simple.
Para estado triple: $$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$
Para estado doble (según casos):
- Caso A (0 \leq $\sigma_2$ \leq $\sigma_1$): $\tau_{max} = \dfrac{\sigma_{1D}}{2}$
- Caso B ($\sigma_2 \leq 0 \leq \sigma_1$): $\tau_{max} = \dfrac{\sigma_{1D}-\sigma_{2D}}{2}$
- Caso C ($\sigma_2 \leq \sigma_1 \leq 0$): $\tau_{max} = -\dfrac{\sigma_{2D}}{2}$
Condición de rotura resumida: $$\max\left(\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2},\frac{|\sigma_1-\sigma_3|}{2},\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2}\right) = \tau_{rot}$$
Tabla comparativa: Tresca vs Rankine
| Criterio | Tipo de material | Medida de comparación |
|---|---|---|
| Rankine | Frágil/cuasi frágil | $\sigma_{1}$ o $\sigma_{3}$ |
| Tresca | Muy dúctil | $\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$ |
Hipótesis de Huber - von Mises - Hencky (energía de distorsión)
- Válida para materiales muy dúctiles.
- Premisa: la rotura se produce cuando el trabajo interno específico de distorsión alcanza el valor correspondiente en un ensayo simple.
Trabajo interno de distorsión (3D general): $$T_I^* = \frac{1}{12G}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_1-\sigma_3)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2\right]$$
Condición de rotura en ensayo simple (con $\sigma_1=\sigma_f$, $\sigma_2=\sigma_3=0$): $$T_I^* = \frac{1}{12G}2\sigma_f^
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Hipótesis de rotura
Klíčové pojmy: Calcular tensiones principales con $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$, Rankine: falla si $|\sigma_{1}|\geq\sigma_f$ o $|\sigma_{3}|\geq\sigma_f'$ (materiales frágiles), Tresca: falla si $\tau_{max}=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$ alcanza $\tau_{rot}$ (materiales dúctiles), Von Mises: usar $\sigma_{comp}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}$ y comparar con $\sigma_f$, Mohr-Coulomb: condición $|\tau|\le c-\sigma\tan\phi$ para deslizamiento y orientación de planos $\theta=45^\circ\pm\dfrac{\phi}{2}$, Para materiales cohesivos ($\phi=0$) se obtiene $\sigma_1-\sigma_3=2c$, Comparar siempre múltiples criterios cuando la naturaleza del material no es evidente, En corte simple, von Mises indica $\tau_{rot}=\dfrac{\sigma_f}{\sqrt{3}}$, La CRI es la envolvente $\tau(\sigma)$ que puede aproximarse por rectas para hormigón, Elegir el criterio apropiado evita sobredimensionamiento y fallos prematuros