Test sobre Geometría Analítica: Líneas, Círculos y Parábolas

Pregunta 1: En la ecuación general de la circunferencia $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, las coordenadas del centro $(h, k)$ se determinan mediante $h = A/2$ y $k = B/2$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición de la ecuación general de la circunferencia, los coeficientes $A$ y $B$ se definen como $A = -2h$ y $B = -2k$. Por lo tanto, para determinar las coordenadas del centro, se debe usar $h = -A/2$ y $k = -B/2$.

Pregunta 2: ¿Cuál es el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación canónica es $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 4$?

A. Centro $(1, -4)$ y radio $2$

B. Centro $(-1, 4)$ y radio $2$

C. Centro $(-1, 4)$ y radio $4$

D. Centro $(1, 4)$ y radio $2$

Explicación: La ecuación principal (o canónica) de la circunferencia está dada por $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, donde $C(h,k)$ es el centro y $r$ es el radio. Comparando la ecuación dada $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 4$ con la forma canónica, se deduce que $h = -1$ y $k = 4$. Además, $r^2 = 4$, lo que significa que el radio $r = 2$. Por lo tanto, el centro de la circunferencia es $(-1, 4)$ y su radio es $2$.

Pregunta 3: El lado recto de una parábola es la longitud del segmento que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La definición establece que el lado recto de una parábola es la longitud del segmento que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal.

Pregunta 4: Dada la parábola con ecuación $P : (y - 1)^2 = 12(x + 2)$, ¿cuál es la ecuación de su directriz?

A. $x = 1$

B. $x = -2$

C. $x = -5$

D. $y = -5$

Explicación: La ecuación de una parábola con eje focal horizontal es de la forma $(y - k)^2 = 4c(x - h)$. Comparando con la ecuación dada $P : (y - 1)^2 = 12(x + 2)$, identificamos que $h = -2$ y $k = 1$. Además, $4c = 12$, lo que implica que $c = 3$. La directriz para este tipo de parábola tiene la ecuación $l: x = h - c$. Sustituyendo los valores, obtenemos $x = -2 - 3$, lo que resulta en $x = -5$.

Pregunta 5: Para determinar el término faltante en una expresión cuadrática de la forma $x^2 + 6x = 0$ con el objetivo de completar cuadrados, la estrategia consiste en dividir el término central ($6x$) por $2x$ y luego elevar el resultado al cuadrado.

A. Ano

B. Ne

Explicación: La estrategia descrita en el material para encontrar el término faltante en una expresión de segundo grado que no es un cuadrado de binomio implica dividir el término central por $2x$ y luego elevar el resultado al cuadrado. Para el ejemplo $x^2 + 6x = 0$, el término central es $6x$. Al dividir $6x$ por $2x$ se obtiene 3, y al elevar 3 al cuadrado se obtiene $3^2=9$, que es el término faltante.