Resumen de Geometría Analítica: Líneas, Círculos y Parábolas

## Introducción La geometría analítica relaciona el álgebra con la geometría mediante el uso de coordenadas. Permite representar objetos geométricos con ecuaciones y resolver problemas geométricos mediante técnicas algebraicas. En este material nos enfocaremos en conceptos y problemas comunes en geometría analítica, excepto los temas específicamente cubiertos en otras unidades (recta, circunferencia, parábola, ecuación cuadrática, administración). ## Contenidos clave y estructura Abordaremos: - Sistemas de ecuaciones con valores absolutos y expresiones radicales - Intersecciones entre curvas (enfoque general sin detallar recta/circunferencia/parábola) - Parámetros en puntos y pendientes (uso de una variable en coordenadas) - Transformaciones y representación de trayectorias en el plano - Aplicaciones y problemas tipo: detección sobre zonas, intersecciones paramétricas > Definición: La geometría analítica es la rama de la matemática que usa coordenadas y álgebra para describir y analizar figuras geométricas. ### 1. Ecuaciones con valores absolutos y raíces Descomponer expresiones con valores absolutos requiere considerar casos según el signo de las expresiones internas. - Técnica general: Para una igualdad $|A|=B$ con $B\ge 0$, se resuelven los dos casos $A=B$ y $A=-B$. - Para composiciones anidadas $||A|-B|=C$ se procede de afuera hacia adentro considerando subcasos según signos. Ejemplo práctico (tipo del material original): Resolver $$||x+5|-2|=1$$ Solución (esquema): 1) Plantear $|x+5|-2=1$ y $|x+5|-2=-1$. 2) Del primer caso $|x+5|=3$ se obtienen $x+5=3$ y $x+5=-3$ dando $x=-2$, $x=-8$. 3) Del segundo caso $|x+5|=1$ se obtienen $x+5=1$ y $x+5=-1$ dando $x=-4$, $x=-6$. 4) Unión de soluciones: $x=-8, -6, -4, -2$. > Definición: El valor absoluto $|z|$ representa la distancia desde $z$ hasta $0$ en la recta real. Consejos: - Verifica siempre que las soluciones cumplan restricciones (por ejemplo, dominio de raíces o denominadores). - Para expresiones con raíces y fracciones, analiza el dominio antes de resolver inecuaciones. Ejemplo con raíz y denominador (tipo): Resolver $$\frac{\sqrt{3-|x-2|}}{x^{2}-4}\le 0$$ Esquema de resolución: - Dominio de la raíz: $3-|x-2|\ge 0$ implica $|x-2|\le 3$, es decir $-1\le x\le 5$. - Dominio del denominador: $x^{2}-4\ne 0$ implica $x\ne -2,\;2$. - Numerador $\sqrt{\cdot}\ge 0$ siempre; la fracción es \le 0 cuando el numerador es $0$ o cuando numerador $>0$ y denominador $<0$. - Buscar puntos donde numerador $=0$ y dentro del dominio; luego valores donde el denominador es negativo dentro del dominio. ### 2. Puntos variables y pendientes (parámetro en coordenadas) Cuando un punto depende de un parámetro $t$, muchas cantidades (pendiente, distancia, ecuaciones) quedan expresadas en función de $t$. - Pendiente entre $A(x_{1},y_{1})$ y $B(t,y_{2})$ (si $x_{1}\ne t$): $$m(t)=\frac{y_{2}-y_{1}}{t-x_{1}}.$$ - Para exigir una pendiente específica, se resuelve la ecuación $m(t)=m_{0}$ para $t$. Ejemplo práctico: Datos: $A(1,2)$ y $B(t,5)$. La pendiente es $$m(t)=\frac{5-2}{t-1}=\frac{3}{t-1}.$$ Para que $m=1$ se resuelve $$\frac{3}{t-1}=1$$ dando $t=4$. > Definición: La pendiente mide la inclinación de la conexión entre dos puntos; es el cociente de diferencias en $y$ y en $x$. Consejos: - Si $t=x_{1}$, la pendiente no está definida (segmento vertical). Verificar ese caso por separado. - Al obtener una expresión en $t$, analiza valores que anulan denominadores o violan condiciones. ### 3. Intersecciones generales entre curvas Para encontrar intersecciones, igualamos las ecuaciones de las dos curvas y resolvemos el sistema resultante. Procedimiento general: 1) Igualar las expresiones de $y$ (o parametrizar ambas) y obtener una ecuación en $x$ (o en el parámetro). 2) Resolver la ecuación resultante (polinómica, radical, etc.). 3) Sustituir las soluciones en una de las ecuaciones para obtener las coordenadas completas. Consejos: - El número de soluciones reales depende del grado de la ecua