Resumen de Fundamentos de Cálculo y Geometría Analítica

## Introducción La identificación de asíntotas verticales y oblicuas es una herramienta fundamental en el **análisis cualitativo de funciones**. Estas asíntotas describen el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a ciertos valores (verticales) o al infinito (oblicuas). En esta guía veremos definiciones, procedimientos paso a paso, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas en Cálculo diferencial. ## Conceptos básicos > **Definición:** Una **asíntota vertical** es una recta vertical $x = a$ tal que $f(x)$ crece sin límite de signo positivo o negativo cuando $x$ se aproxima a $a$ desde la izquierda o la derecha. > **Definición:** Una **asíntota oblicua** (o inclinada) es una recta $y = mx + b$ tal que $\lim_{x o \pm\infty} \left[f(x) - (mx + b)\right] = 0$. ### Relación con funciones racionales - Para una función racional $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ donde $p$ y $q$ son polinomios, las asíntotas verticales suelen ocurrir en ceros de $q(x)$ que no se cancelan con ceros de $p(x)$. - Las asíntotas horizontales u oblicuas dependen del grado de $p$ y $q$: - Si $\deg p < \deg q$, existe una asíntota horizontal $y=0$. - Si $\deg p = \deg q$, existe una asíntota horizontal $y=\dfrac{\text{coeficiente líder de }p}{\text{coeficiente líder de }q}$. - Si $\deg p = \deg q + 1$, puede existir una asíntota oblicua encontrada mediante división polinómica. - Si $\deg p > \deg q + 1$, el comportamiento en el infinito viene dado por un polinomio de grado mayor; no hay asíntota oblicua lineal. ## Procedimiento general para identificar asíntotas verticales 1. Simplifique la función cancelando factores comunes si existen. 2. Encuentre los puntos donde la función no está definida, típicamente donde el denominador es cero: resuelva $q(x)=0$. 3. Para cada candidato $x=a$, calcule los límites laterales - $\lim_{x o a^-} f(x)$ y $\lim_{x o a^+} f(x)$. 4. Si al menos uno de los límites laterales es $\pm \infty$, entonces $x=a$ es una asíntota vertical. Ejemplo práctico: Sea $f(x)=\dfrac{x+2}{(x-1)(x+3)}$. 1) Denominador cero en $x=1$ y $x=-3$. 2) Calcule límites: $$\lim_{x o 1^-} f(x)=\lim_{x o 1^-} \dfrac{x+2}{(x-1)(x+3)}.$$ Cerca de $x=1$ el factor $(x-1)$ cambia de signo, mientras $x+2$ y $x+3$ son positivos; por ende uno de los límites laterales es $\pm\infty$. De manera similar para $x=1^+$; concluimos que $x=1$ es asíntota vertical. 3) Para $x=-3$ el factor $(x+3)$ cambia de signo; analizar límites laterales muestra divergencia a $\pm\infty$, por lo que $x=-3$ es asíntota vertical. ## Procedimiento para identificar asíntota oblicua 1. Verifique el comportamiento en el infinito: calcule $\deg p - \deg q$ para una racional $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$. 2. Si $\deg p = \deg q + 1$, realice la división polinómica de $p(x)$ entre $q(x)$ para obtener $$f(x)=mx+b+\dfrac{r(x)}{q(x)}$$ donde $\deg r < \deg q$. 3. Entonces la asíntota oblicua es $y=mx+b$ porque $$\lim_{x o \pm\infty} \dfrac{r(x)}{q(x)}=0$$ y por tanto $\lim_{x o \pm\infty} \left[f(x)-(mx+b)\right]=0$. 4. Alternativamente, calcule $$m=\lim_{x o \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x o \pm\infty} \bigl(f(x)-mx\bigr)$$ siempre que existieran esos límites. Ejemplo práctico: Sea $f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x-1}$. 1) Aquí $\deg p = 2$, $\deg q = 1$, entonces $\deg p = \deg q + 1$. Procedemos a dividir. División polinómica: $$\dfrac{x^2+3x+1}{x-1} = x+4 + \dfrac{5}{x-1}$$ Por tanto la asíntota oblicua es $$y = x + 4$$ porque $$\lim_{x o \pm\infty} \dfrac{5}{x-1} = 0.$$ Como verificación mediante las fórmulas: $$m=\lim_{x o \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x o \pm\infty} \dfrac{x^2+3x+1}{x(x-1)} = 1$$ $$b=\lim_{x o \pm\infty} \bigl(f(x)-mx\bigr)=\lim_{x o \pm\infty} \left(\dfrac{x^2+3x+1}{x-1}-x\right)=4$$ ## Casos especiales y detalles a vigilar - Si un cero del denominador se cancela con el numerador, entonces en ese punto hay una **removable discontinuity** (agujero), no necesariamente una asíntota vertical. - Para funciones no