Resumen de Fundamentos de Aritmética

## Introducción La aritmética y las finanzas básicas son herramientas esenciales para resolver problemas cotidianos y tomar decisiones económicas informadas. En este material repasaremos sucesiones (aritméticas y geométricas), medidas de tendencia central, proporcionalidad (regla de tres) e introducción al interés y descuentos financieros, con ejemplos y aplicaciones prácticas. > Definición: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y que ordena términos según una regla dada. ## I. Sucesiones: conceptos básicos ### 1. Progresión Aritmética (P.A.) > Definición: Una P.A. es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, la razón aritmética $r$. - Término general: $$t_n = t_1 + (n - 1)r$$ Alternativamente: $$t_n = r\cdot n + t_0\quad\text{con }t_0 = t_1 - r$$ - Número de términos entre $t_1$ y $t_n$: $$n = \left\lfloor\frac{t_n - t_1}{r}\right\rfloor + 1$$ - Suma de los primeros $n$ términos: $$S_n = \frac{t_1 + t_n}{2}\times n$$ Ejemplo práctico: Si $t_1 = 5$ y $r = 3$, entonces $t_4 = 5 + (4-1)\cdot 3 = 14$ y $S_4 = \frac{5 + 14}{2}\times 4 = 38$. Did you know que las diferencias sucesivas en una P.A. son siempre iguales y pueden usarse para detectar patrones en datos secuenciales? ### 2. Progresión Geométrica (P.G.) > Definición: Una P.G. es una sucesión donde el cociente entre términos consecutivos es constante, la razón geométrica $q$. - Término general: $$t_n = t_1\cdot q^{n-1}$$ - Suma de los primeros $n$ términos: $$S_n = t_1\cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\quad (q\neq 1)$$ - Suma límite para serie geométrica infinita decreciente: si $0 < |q| < 1$, entonces $$S_L = \frac{t_1}{1 - q}$$ Ejemplo práctico: Inversión que crece un 5% anual corresponde a una P.G. con $q = 1.05$. Si $t_1 = 1000$, al cabo de 3 años $t_4 = 1000\cdot 1.05^{3} = 1157.625$. Fun fact: Las P.G. aparecen en fenómenos naturales como el crecimiento poblacional en fases iniciales y en cálculo de interés compuesto. ## II. Teoría de promedios (medidas de tendencia central) > Definición: Las medidas de tendencia central resumen un conjunto de datos por un único valor representativo. - Sea la muestra ordenada $a_1, a_2, \dots, a_n$; siempre se cumple $a_1 \leq \text{Promedio} \leq a_n$. ### Tipos fundamentales | Promedio | Fórmula | Uso típico | |---|---:|---| | Media aritmética (M.A.) | $\displaystyle M.A.=\frac{\sum a_i}{n}$ | Datos lineales y balances generales | | Media geométrica (M.G.) | $\displaystyle M.G.=\left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right)^{1/n}$ | Tasas de crecimiento, índices | | Media armónica (M.H.) | $\displaystyle M.H.=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}}$ | Velocidades medias, promedios de razones | Ejemplo práctico: Para $2$ y $8$: $M.A.=5$, $M.G.=\sqrt{16}=4$, $M.H.=\dfrac{2\cdot 2\cdot 8}{2+8}=\dfrac{32}{10}=3.2$. ### Propiedades para dos datos $A$ y $B$ - $M.A.=\dfrac{A+B}{2}$, $M.G.=\sqrt{A\cdot B}$, $M.H.=\dfrac{2AB}{A+B}$. - Orden: si $A\neq B$ entonces $M.A.>M.G.>M.H.$ - Relación central: $$(M.G.)^2 = M.A.\times M.H.$$ - Diferencia de datos: $$(A-B)^2 = 4\bigl(M.A.^2 - M.G.^2\bigr) = 4\,M.A.\,(M.A. - M.H.)$$ Did you know que la media geométrica es la apropiada para promediar tasas de crecimiento porque preserva la multiplicatividad? ## III. Regla de tres y proporcionalidad > Definición: La regla de tres relaciona magnitudes proporcionales para hallar valores desconocidos. ### 1. Regla de tres simple - Directa (magnitudes directamente proporcionales): si $A_1$ corresponde a $B_1$ y $A_2$ a $B_2$, entonces $$X = \frac{A_2\cdot B_1}{A_1}$$ - Inversa (magnitudes inversamente proporcionales): si el producto se mantiene constante, entonces $$X = \frac{A_1\cdot B_1}{A_2}$$ Ejemplo práctico: Si 5 obreros hacen una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 10 obreros (misma eficiencia)? Directa inversa: $D = \dfrac{5\cdot 10}{10} = 5$ días. ### 2. Regla de tres compuesta (método de la obra) - Fórmula general preuniversitaria (magnitudes vinculadas)