Resumen de Fundamentos de Álgebra y Resolución de Problemas

## Introducción Las habilidades para modelar y resolver problemas aritméticos y algebraicos son esenciales en ciencias, ingeniería y en la vida cotidiana. En este material revisaremos cómo traducir enunciados a expresiones y ecuaciones, simplificar expresiones y plantear modelos algebraicos a partir de situaciones reales. Se presentan ejemplos, definiciones y ejercicios tipo test para practicar. ## Conceptos básicos y estrategias ### 1. Interpretación de máquinas aritméticas - Una "máquina" que transforma un número $x$ por una operación se modela con una expresión algebraica. Si la máquina hace el triple de lo que entra, su transformación es $3x$. Si una máquina "aumenta en 59", transforma $y$ en $y+59$. - Para componer dos máquinas, se aplica la segunda operación sobre el resultado de la primera. Si la máquina 1 aplica $f(x)$ y la máquina 2 aplica $g(x)$, la composición es $g\left(f(x)\right)$. > Definición: Una composición de funciones $g\circ f$ es la aplicación de $f$ seguida de $g$, y se representa por $g\left(f(x)\right)$. Ejemplo práctico: Máquina 1: $3x$. Máquina 2: aumenta en $59$ (toma la entrada y suma $59$). Composición: $$3x$$ Aplicar máquina 2 a ese resultado: $$3x + 59$$ ### 2. Planteo y resolución de ecuaciones lineales - Paso clave: reunir términos semejantes y aislar la variable. - Para una ecuación tipo $5x + 7 = 2x + 79$ restamos $2x$ y restamos $7$ de ambos lados para obtener una ecuación equivalente. Ejemplo: $$5x + 7 = 2x + 79$$ Restar $2x$ de ambos lados: $$3x + 7 = 79$$ Restar $7$: $$3x = 72$$ Por tanto, la ecuación equivalente que tiene la misma solución es $3x = 72$. ### 3. Modelos con unidades mixtas y ecuaciones - Conviene expresar horas en fracciones impropias o en fracción decimal al plantear ecuaciones. - Si Carla dedica $3\frac{1}{2}$ horas por asignatura y $5\frac{2}{3}$ horas en total para estudiar, con $a$ asignaturas y total $30$ horas, la ecuación es: $$3\frac{1}{2}a + 5\frac{2}{3} = 30$$ Interpretación: tiempo por asignatura multiplicado por número de asignaturas más tiempo general igual a total. > Definición: Una fracción mixta $m\frac{p}{q}$ puede transformarse a fracción impropia como $\frac{qm + p}{q}$. ### 4. Problemas de división entera y apilamiento - Cuando se apilan objetos de altura fija dentro de una altura disponible, la cantidad máxima $x$ satisface $34x = 510$ si $34$ es la altura de cada caja. ### 5. Modelos con suma de cantidades desconocidas - Si Javiera anotó $x$ goles y Pía $4$ más, y juntas suman $16$, el modelo es: $$x + \left(x + 4\right) = 16$$ Es decir: $$2x + 4 = 16$$ ### 6. Reparto proporcional entre personas - Si las relaciones son: primero recibe 3 veces lo que recibe el segundo, y el segundo recibe 9 veces lo que recibe el tercero, con total $514{.}000$, se puede expresar con la variable $x$ como la cantidad que recibe el tercero: Primer: $3\cdot 9x$, Segundo: $9x$, Tercero: $x$. Entonces: $$3\cdot 9x + 9x + x = 514000$$ Aquí $x$ representa el monto que recibirá el tercer socio. ### 7. Reducción de términos semejantes - Se suman coeficientes de términos con la misma variable. Por ejemplo: $$4x + 9y + 4 + 6x - 2y + 9$$ Agrupando términos semejantes: $$\left(4x + 6x\right) + \left(9y - 2y\right) + \left(4 + 9\right)$$ $$10x + 7y + 13$$ ### 8. Secuencias y expresiones en función de $n$ - Observar patrón numérico o geométrico en las figuras y deducir la fórmula en términos de $n$. Si la cantidad de círculos crece linealmente en 3 por figura, la expresión es $3n$. Si crece como $n^2$, es cuadrática. ### 9. Traducción verbal a expresiones - "La cuarta parte de un número, disminuida en $33$" se traduce como: $$\frac{x}{4} - 33$$ - "Un pastel de crema cuesta $90$ más que uno de chocolate" y "manjar cuesta $100$ más que crema" con variable $x$ para chocolate: crema es $x + 90$, manjar es $x + 190$. En la suma de tres precios: $$x + \left(x + 90\right) + \left(x + 190\right) = 5000$$ La expresión $x + 190$ corresponde al precio del pastel de manjar. ### 10