Test sobre Fundamentos de Álgebra Lineal

Pregunta 1: El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales está formado por todas las soluciones del sistema.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El conjunto solución es el formado por todas las soluciones del sistema.

Pregunta 2: Dadas las siguientes afirmaciones sobre las propiedades de un espacio vectorial (𝓥, +, 𝕽, ⋅), ¿cuál de ellas es correcta según los materiales de estudio?

A. La propiedad conmutativa en la suma de vectores establece que u + v = v + u.

B. La propiedad de asociatividad mixta para el producto de un escalar por un vector se expresa como α ⋅ (u + v) = α ⋅ u + α ⋅ v.

C. El producto del escalar 1 por el vector nulo es el vector nulo.

D. La propiedad del vector opuesto establece que u + 0v = u.

Explicación: La propiedad conmutativa para la suma de vectores es u + v = v + u. La asociatividad mixta es (α ⋅ β) ⋅ u = α ⋅ (β ⋅ u), mientras que α ⋅ (u + v) = α ⋅ u + α ⋅ v es la distributividad respecto de la adición de vectores. El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo, por lo que 1 ⋅ 0v = 0v, haciendo la opción incorrecta si no se especifica el contexto de la afirmación general. La propiedad del vector opuesto es u + (-u) = 0v, no u + 0v = u, que es la propiedad del vector nulo.

Pregunta 3: Un sistema de ecuaciones lineales es considerado crameriano si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante asociado a la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Un sistema es crameriano si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Pregunta 4: Con base en el Teorema de Rouché – Frobenius y la definición de sistemas homogéneos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA sobre un sistema de ecuaciones lineales homogéneo?

A. Un sistema homogéneo siempre es compatible y su única solución es la trivial (vector nulo).

B. Un sistema homogéneo es compatible indeterminado (infinitas soluciones, además de la trivial) si el rango de la matriz de coeficientes es inferior al número de incógnitas.

C. Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas, un sistema homogéneo tendrá soluciones distintas de la trivial si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

D. Un sistema homogéneo puede ser incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es diferente al rango de la matriz ampliada.

Explicación: El material de estudio establece que un sistema homogéneo es siempre compatible, admitiendo la solución trivial. Sin embargo, también indica que para que admita solución fuera de la trivial (es decir, infinitas soluciones), la condición necesaria y suficiente es que el rango de la matriz de coeficientes sea inferior al número de incógnitas (Rg(A) < m). La opción 0 es incorrecta porque el sistema puede tener soluciones no triviales. La opción 2 es incorrecta porque para que existan soluciones distintas de la trivial en un sistema cuadrado, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo, no distinto de cero. La opción 3 es incorrecta porque un sistema homogéneo es siempre compatible, por lo tanto, nunca será incompatible, y los rangos de A y A' siempre serán iguales.

Pregunta 5: Los axiomas de orden y de completitud que verifican el conjunto de los números reales se demuestran, a diferencia de los axiomas de cierre o conmutatividad.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El material de estudio establece que "los axiomas no se demuestran, se consideran proposiciones verdaderas". Esta afirmación aplica a todos los axiomas mencionados, incluyendo los de orden y completitud, sin hacer distinciones sobre su demostrabilidad en comparación con otros axiomas.