Resumen de Fundamentos de Álgebra Lineal

## Introducción Las matrices son arreglos rectangulares de números que organizan información en filas y columnas. En este material revisaremos definiciones, tipos especiales, operaciones básicas y propiedades relevantes para su manejo en problemas matemáticos y aplicaciones prácticas. > Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en $n$ filas y $m$ columnas. Se denota $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$ y su elemento genérico es $a_{ij}$, que ocupa la fila $i$ y la columna $j$. ## Notación y elementos básicos - Orden o tamaño: $n\times m$, donde $n$ es el número de filas y $m$ el número de columnas. - Elemento genérico: $a_{ij}$ representa el elemento en la fila $i$ y la columna $j$. Ejemplo: Sea $A\in\mathbb{R}^{3\times2}$, entonces $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}$$ Tiene 3 filas y 2 columnas. ## Tipos de matrices (clasificación rápida) | Tipo | Condición | Ejemplo | Observación | |---|---:|---|---| | Cuadrada | $n=m$ | $A\in\mathbb{R}^{3\times3}$ | Permite traza y determinante | | Rectangular | $n\neq m$ | $B\in\mathbb{R}^{3\times2}$ | No tiene traza ni determinante definidos | | Fila | $1\times m$ | $F=(f_{11},f_{12},\dots,f_{1m})$ | Vector fila | | Columna | $n\times1$ | $C=\begin{pmatrix}c_{11}\\\vdots\\c_{n1}\end{pmatrix}$ | Vector columna | | Nula | Todos los $a_{ij}=0$ | $0_{n\times m}$ | Neutra para la suma | | Diagonal | Cuadrada y $a_{ij}=0$ si $i\neq j$ | $\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)$ | Los valores fuera de la diagonal son cero | | Escalar | Diagonal con misma diagonal | $kI$ | Es $k$ veces la identidad | | Identidad | Escalar con $k=1$ | $I_n$ | Elemento neutro del producto | > Definición: La matriz nula es la matriz en la que todos sus elementos son cero: $0_{n\times m}$. ## Matriz traspuesta > Definición: La traspuesta de $A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times m}$ es $A^{T}=(a_{ji})\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Ejemplo: Si $$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times3},$$ entonces $$A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 5 & 2\\ 4 & 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times2}.$$ ## Diagonal y traza (matrices cuadradas) > Definición: La diagonal principal de $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ está formada por los elementos $a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}$. > Definición: La traza de $A$ es la suma de los elementos de la diagonal: $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}$. Ejemplo: Para $$A=\begin{pmatrix}3 & 3 & 2\\1 & 3 & 1\\5 & 0 & 2\end{pmatrix},$$ la diagonal es $3,3,2$ y $$\operatorname{tr}(A)=3+3+2=8.$$ ## Matrices especiales: definiciones rápidas - Matriz diagonal: $a_{ij}=0$ si $i\neq j$. - Matriz escalar: matriz diagonal con todos los $a_{ii}=k$. - Matriz identidad: $I_n$ con $a_{ii}=1$ y $a_{ij}=0$ para $i\neq j$. Did you know que la matriz identidad es la única matriz neutra para la multiplicación en $\mathbb{R}^{n\times n}$ y siempre satisface $AI_n=I_nA=A$ para toda $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$? ## Operaciones con matrices ### Suma > Definición: Si $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ pertenecen a $\mathbb{R}^{n\times m}$, entonces $C=A+B$ está definida por $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ para todo $i,j$. Condición: Las matrices deben ser del mismo orden. Ejemplo: $$A=\begin{pmatrix}2 & 4\\3 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 3\\7 & 8\end{pmatrix}$$ $$A+B=\begin{pmatrix}2+1 & 4+3\\3+7 & 1+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 7\\10 & 9\end{pmatrix}.$$ ### Igualdad de matrices > Definición: $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y $a_{ij}=b_{ij}$ para todo $i,j$. Ejemplo práctico: Resolver para $x,y$ si $$A=\begin{pmatrix}7 & 0\\6 & 4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3+x & 5\\4 & 2+y\end{pmatrix}$$ Igualdad elemento a elemento da el sistema $7=3+x$ y $4=2+y$, luego $x=4$, $y=2$. ### Producto por escalar y operaciones elementales - Multiplicar una columna (o fila) por un escalar $\alpha$ multiplica el determinante por $\alpha$ cuando la matriz es cuadrada. - Sumar a una columna otra columna multiplicada por un esc