Resumen de Fundamentos de Álgebra Lineal y Lógica
Fundamentos de Álgebra Lineal y Lógica: Guía Completa
Introducción
La lógica proposicional y simbólica estudia las reglas formales para combinar y evaluar oraciones que pueden ser verdaderas o falsas. Es la base para razonar con precisión en matemáticas, informática, electrónica y filosofía. En este material veremos proposiciones, conectivos, tablas de verdad, condicionales, cuantificadores y circuitos lógicos, con ejemplos y aplicaciones prácticas.
Definición: Una proposición es una oración a la cual se le puede asignar un valor de verdad: verdadero o falso.
1. Proposiciones y proposiciones compuestas
1.1 Proposición simple
- Notación: $p$, $q$, $r$.
- Ejemplo: $p$: hoy está nublado.
1.2 Proposición compuesta
Definición: Una proposición compuesta es una oración formada por proposiciones simples unidas por conectores lógicos cuyo valor de verdad depende de las proposiciones que la componen y de los conectores.
- Conectores básicos: conjunción, disyunción (incluyente y excluyente), negación, condicional, bicondicional.
2. Conectivos y tablas de verdad
2.1 Negación
Definición: La negación de $p$ se denota $\neg p$ y cambia el valor de verdad de $p$.
| $p$ | $\neg p$ |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Ejemplo: $p$: hoy está nublado, $\neg p$: hoy no está nublado.
2.2 Conjunción ("y")
Definición: $p \wedge q$ es verdadera sólo si $p$ y $q$ son verdaderas.
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Ejemplo: $p$: -3 es entero, $q$: 5 es entero. $p \wedge q$ es verdadero.
2.3 Disyunción incluyente ("o")
Definición: $p \vee q$ es verdadera si al menos una de $p$, $q$ es verdadera.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
2.4 Disyunción excluyente ("o...o")
Definición: $p \oplus q$ es verdadera si exactamente una de $p$, $q$ es verdadera.
| $p$ | $q$ | $p \oplus q$ |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
2.5 Bicondicional
Definición: $p \leftrightarrow q$ es verdadera cuando $p$ y $q$ tienen el mismo valor de verdad.
| $p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Ejemplo: "Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene 3 lados y 3 ángulos iguales" se formaliza como $p \leftrightarrow q$.
3. Condicionales: antecedente y consecuente
Definición: Una condicional $p \to q$ tiene antecedente $p$ y consecuente $q$. $p$ es condición suficiente para $q$; $q$ es condición necesaria para $p$.
Tabla de verdad de $p \to q$:
| $p$ | $q$ | $p \to q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Variantes relacionadas:
- Recíproca: $q \to p$.
- Inversa: $\neg p \to \neg q$.
- Contrarrecíproca (contraposición): $\neg q \to \neg p$.
Tabla comparativa (ejemplo de filas para referencia):
| Caso | Fórmula | Observación |
|---|---|---|
| Condicional | $p \to q$ | Falla sólo cuando $p$ es V y $q$ es F |
| Contraposición | $\neg q \to \neg p$ | Lógicamente equivalente a $p \to q$ |
| Recíproca | $q \to p$ | No equivalente en general |
| Inversa | $\neg p \to \neg q$ | No equivalente en general |
4. Tautologías, contradicciones y contingencias
- Tautología: expresión verdadera en todas las combinaciones de verdad.
- Contradicción: expresión falsa en todas las combinaciones.
- Contingencia: expresión que resulta verdadera en algunas combinaciones y falsa en otras.
Ejemplo de tautología: Ley de la doble negación $\neg(\neg p) \iff p$.
5. Implicación y equivalencia lógica
- Implicación lógica: $p \Rightarrow q$ significa que la condicional $(p \to q)$ es tautológica.
- Equivalencia lógica: $p \iff q$ (o $p \equiv q$) significa que $p \leftrightarrow q$ es tautología.
Ejemplos de leyes lógicas:
- Contraposición: $$p \
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Lógica proposicional
Klíčové pojmy: Una proposición es una oración con valor V o F, Negación: $\neg p$ invierte el valor de $p$, Conjunción: $p \wedge q$ es V sólo si $p$ y $q$ son V, Disyunción incluyente: $p \vee q$ es V si alguna es V, Disyunción excluyente: $p \oplus q$ es V si exactamente una es V, Condicional: $p \to q$ equivale a $\neg p \vee q$, Contraposición: $p \to q \iff \neg q \to \neg p$, Tautología si la fórmula es V en todas las filas de su tabla de verdad, Cuantificadores: $\forall x\, P(x)$ y $\exists x\, P(x)$ y sus negaciones, Circuito para $p \to q$ puede implementarse como $\neg p \vee q$