Test sobre Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices y Determinantes

Pregunta 1: El resultado de multiplicar una matriz $A$ por un escalar $k$ es una matriz de diferente dimensión que $A$, excepto cuando $k=1$.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición proporcionada, si $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $k \in \mathbb{R}$, entonces $kA = B \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Esto significa que el producto de un escalar por una matriz resulta en una matriz de las mismas dimensiones ($m \times n$), sin importar el valor del escalar $k$.

Pregunta 2: Dadas las matrices $A = \left( \begin{array}{cc} 5 & 7 \\ -2 & 3 \end{array} \right)$ y $B = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & -5 \end{array} \right)$, calcule la matriz $A - B$.

A. $ \left( \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ -6 & 8 \end{array} \right) $

B. $ \left( \begin{array}{cc} 7 & 8 \\ 2 & -2 \end{array} \right) $

C. $ \left( \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 2 & -2 \end{array} \right) $

D. $ \left( \begin{array}{cc} 7 & 8 \\ -6 & 8 \end{array} \right) $

Explicación: Según la definición de diferencia de matrices, si $A - B = C$, entonces $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$.Por lo tanto, para las matrices dadas: $A - B = \left( \begin{array}{cc} 5-2 & 7-1 \\ -2-4 & 3-(-5) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ -6 & 8 \end{array} \right)$.

Pregunta 3: La sucursal que obtuvo la máxima ganancia en agosto de 2013 fue la Sucursal 4, con una ganancia total de $215.120,00.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Para determinar la sucursal con la máxima ganancia, se calcula la ganancia total para cada sucursal multiplicando el beneficio por producto por la cantidad de unidades vendidas de ese producto y sumando los resultados para todos los productos en esa sucursal. Las ganancias por sucursal son: - Sucursal 1: (23 * 700) + (56 * 900) + (10 * 200) + (45 * 340) + (67 * 800) = 16100 + 50400 + 2000 + 15300 + 53600 = $137.400,00 - Sucursal 2: (67 * 700) + (20 * 900) + (65 * 200) + (3 * 340) + (65 * 800) = 46900 + 18000 + 13000 + 1020 + 52000 = $130.920,00 - Sucursal 3: (43 * 700) + (32 * 900) + (67 * 200) + (23 * 340) + (43 * 800) = 30100 + 28800 + 13400 + 7820 + 34400 = $114.520,00 - Sucursal 4: (4 * 700) + (43 * 900) + (65 * 200) + (76 * 340) + (80 * 800) = 2800 + 38700 + 13000 + 25840 + 64000 = $144.340,00 El cálculo proporcionado en la pregunta es incorrecto. La Sucursal 4 obtuvo una ganancia de $144.340,00, no $215.120,00. Por lo tanto, la afirmación es 'no'.

Pregunta 4: Dadas las matrices $A$ (precio de venta, beneficio, costo, comisión por producto) y $B$ (unidades vendidas de cada producto por sucursal), ¿cuál es la interpretación práctica de la matriz producto $BA$?

A. El producto $BA$ no se puede calcular porque el número de columnas de $B$ no coincide con el número de filas de $A$.

B. El producto $BA$ representa el costo, la comisión, el beneficio y el precio de venta total para cada tipo de producto por sucursal.

C. El producto $BA$ se puede calcular, pero no tiene una interpretación práctica significativa en el contexto dado.

D. El producto $BA$ representa la suma de los productos (costo, comisión, beneficio, precio de venta) para cada producto, ponderado por las unidades vendidas en cada sucursal.

Explicación: La matriz $B$ tiene dimensiones 5x4 (productos x sucursales) y la matriz $A$ tiene dimensiones 4x5 (conceptos x productos). El producto $BA$ sí se puede calcular, ya que el número de columnas de $B$ (4) coincide con el número de filas de $A$ (4), resultando una matriz 5x5. Sin embargo, la multiplicación de una fila de $B$ (unidades vendidas de un producto en varias sucursales) por una columna de $A$ (un concepto, como el costo, para diferentes productos) no tiene una interpretación práctica directa o útil en el contexto de las ventas y ganancias del comercio. No representa ni ganancias por sucursal, ni totales por producto de manera coherente.

Pregunta 5: Para determinar el rango de una matriz, siempre es necesario escalonarla completamente hasta una forma reducida por filas para contar las filas no nulas.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Los materiales de estudio indican que para determinar el rango de una matriz, se aplican operaciones elementales para obtener una matriz escalonada y se cuentan las filas no nulas. No se menciona la necesidad de escalonarla completamente hasta una forma reducida por filas; una matriz escalonada es suficiente para este propósito, ya que las filas no nulas de una matriz escalonada son linealmente independientes y su número coincide con el rango.