Resumen de Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices y Determinantes
Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices y Determinantes para Estudiantes
Introducción
Los espacios vectoriales son estructuras algebraicas que generalizan las propiedades de los vectores geométricos y de otros objetos (como polinomios o matrices) bajo dos operaciones: suma y multiplicación por un escalar. En esta guía verás definiciones, criterios prácticos, ejemplos y aplicaciones que te ayudarán a identificar subespacios, generar conjuntos y trabajar con bases y dimensión.
Definición: Un conjunto $V$ con operaciones de suma y producto por escalar es un espacio vectorial si cumple los diez axiomas (cerradura, conmutatividad, asociatividad, existencia de vector nulo, existencia de opuesto, cerradura ante escalares, distributividad, y propiedades de escalares).
Conceptos básicos y axiomas
Operaciones fundamentales
- Suma de vectores: si $u,v\in V$ entonces $u+v\in V$.
- Producto por escalar: si $\alpha\in\mathbb{R}$ y $v\in V$ entonces $\alpha v\in V$.
Consecuencias útiles de los axiomas
Propiedad: Si $V$ es espacio vectorial entonces valen: $0,u=0$, $\alpha,0=0$, $(-\alpha)u=-(\alpha u)$ y $\alpha u=0\Rightarrow\alpha=0$ o $u=0$.
Subespacios vectoriales
Definición: Un subconjunto $W\subseteq V$ es un subespacio si con las mismas operaciones es un espacio vectorial.
Criterio práctico (necesario y suficiente): $W$ es subespacio de $V$ si y sólo si
- $0_V\in W$.
- Si $u,v\in W$ entonces $u+v\in W$.
- Si $u\in W$ y $\alpha\in\mathbb{R}$ entonces $\alpha u\in W$.
Observaciones clave:
- Si $0_V\notin W$ ya no es subespacio.
- El opuesto de cada vector en $W$ está garantizado por tomar $\alpha=-1$ en la condición 3.
Subespacios triviales
- ${0_V}$ y $V$ son subespacios triviales.
Ejemplos (prácticos)
- $W={(x,y)\in\mathbb{R}^2:;y=3x}$ es subespacio porque $ (x,3x)=x(1,3)$ y cumple las tres condiciones.
- $W={(x,y)\in\mathbb{R}^2:;xy=0}$ no es subespacio porque la suma no se conserva: $(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W$.
- $W={(x,y)\in\mathbb{R}^2:;x=0}$ es subespacio (recta $x=0$ que pasa por el origen).
- $W={(x,y)\in\mathbb{R}^2:;x^2-y^2=0}$ no es subespacio (suma falla en general).
- $W={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:;x+y+2z=0}$ es subespacio (plano que pasa por el origen).
- $W={p\in P_2:;p(0)=0}$ es subespacio de $P_2$.
- $W={A\in\mathbb{R}^{2\times 2}:A=A^T}$ es subespacio de matrices simétricas.
- $W={A\in\mathbb{R}^{2\times 2}:\det(A)=0}$ no es subespacio porque la suma no preserva determinante cero.
Combinación lineal y generadores
Definición: Dado $v_1,\dots,v_r\in V$, un vector $w$ es combinación lineal de ellos si existen escalares $k_1,\dots,k_r$ tales que $w=k_1v_1+\cdots+k_rv_r$.
- Si todo vector de $V$ se expresa como combinación lineal de $v_1,\dots,v_r$, decimos que \textbf{generan} $V$; el conjunto se llama generador.
Ejemplos:
- $(0,0,3)=3(0,0,1)$.
- $(1,0,4)=(1,0,1)+\tfrac{3}{2}(0,0,2)$.
- En $P_2$: $8x-4x^2=8,x+(-4),x^2$.
Problemas típicos
- ¿Es $(1,8)$ combinación lineal de $(1,0)$ y $(3,3)$? Resolver $$ (1,8)=\alpha(1,0)+\beta(3,3) $$ Se obtiene $\alpha=-7$, $\beta=8/3$.
- Dado $(1,2,3)$ y vectores $(1,0,0),(0,1,0),(0,2,k)$, ¿para qué $k$ existe representación? Se requiere $k\neq 0$.
Subespacio generado (span)
Definición: El subespacio generado por $v_1,\dots,v_r$ es $\operatorname{gen}{v_1,\dots,v_r}={\sum_{i=1}^r\alpha_i v_i:;\alpha_i\in\mathbb{R}}$.
- El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto forma siempre un subespacio.
- Ejemplo: $\operatorname{gen}{(2,1)}$ es la recta $,{(2k,k):k\in\mathbb{R}\}$.
Independencia y dependencia lineal
Definición: Un conjunto ${v_1,\dots,v_r}$ es linealmente independiente (LI) si la ecuación $\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_rv_r=0$ sólo admite la solución trivial $\alpha_i=0$ para todo $i$. Si existe otra solución, el conjunto es linealmente dependiente (LD).
Caracterización alternativa: Un conjunto es LD si y sólo si al menos uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás.
Ejemplos y
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Espacios vectoriales
Klíčové pojmy: Definición de espacio vectorial: suma y producto por escalar con 10 axiomas, Criterio de subespacio: 0 en W, cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, Subespacios triviales: {0} y V, Combinación lineal: expresar un vector como suma de escalares por generadores, Conjunto generador: genera todo el espacio si sus combinaciones lineales lo cubren, Independencia lineal: única solución trivial de la combinación nula, Base: conjunto LI que genera el espacio; dimensión = número de vectores en la base, Dimensión de núcleo: dim(ker A)=n-rg(A) para A\in\mathbb{R}^{m\times n}, Para extraer base de generadores: formar matriz y escalonar filas, Rectas por el origen dim=1, planos por el origen dim=2, \{0\} dim=0, Si 0\notin W entonces W no es subespacio, Número de variables libres = n - rango cuando el sistema es compatible