Test sobre Funciones Vectoriales y Curvas en Cálculo Multivariable

Pregunta 1: La derivada de la adición de dos funciones vectoriales derivables es igual a la suma de las derivadas de cada función vectorial.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El Teorema iv) de las reglas de derivación para funciones vectoriales establece que la derivada de la adición de funciones vectoriales es d/dt [⃗u(t) + ⃗v(t)] = d⃗u/dt(t) + d⃗v/dt(t).

Pregunta 2: La derivada del producto cruz de dos funciones vectoriales ⃗ u ( t ) y ⃗ v ( t ) es d ⃗ u dt ( t ) × ⃗ v ( t ) - ⃗ u ( t ) × d ⃗ v dt ( t ).

A. Ano

B. Ne

Explicación: La regla de derivación para el producto cruz de funciones vectoriales establece que d dt [ ⃗ u ( t ) × ⃗ v ( t )] = d ⃗ u dt ( t ) × ⃗ v ( t ) + ⃗ u ( t ) × d ⃗ v dt ( t ), usando una suma en lugar de una resta.

Pregunta 3: Dadas dos funciones vectoriales ⃗u(t) y ⃗v(t) derivables en un mismo dominio, ¿cuál es la expresión correcta para la derivada del producto punto d/dt [⃗u(t) · ⃗v(t)]?

A. d⃗u/dt (t) · d⃗v/dt (t)

B. d⃗u/dt (t) · ⃗v(t) + ⃗u(t) · d⃗v/dt (t)

C. d⃗u/dt (t) × ⃗v(t) + ⃗u(t) × d⃗v/dt (t)

D. f'(t) ⃗u(t) + f(t) d⃗v/dt (t)

Explicación: Según el teorema de las reglas de derivación para funciones vectoriales, la derivada del producto punto de dos funciones vectoriales ⃗u(t) y ⃗v(t) se define como d/dt [⃗u(t) · ⃗v(t)] = d⃗u/dt (t) · ⃗v(t) + ⃗u(t) · d⃗v/dt (t).

Pregunta 4: ¿Cuál es la derivada de una función vectorial constante \( \vec{C} \)?

A. El propio vector constante \( \vec{C} \)

B. Un valor escalar de cero

C. El vector cero \( \vec{0} \)

D. No está definida

Explicación: Según las reglas de derivación para funciones vectoriales, la derivada de una función vectorial constante \( \vec{C} \) es el vector cero \( \vec{0} \).

Pregunta 5: La parametrización de una curva definida en forma polar r = f(θ), donde f es continua en el intervalo [α, β], se expresa como x = f(θ)cos(θ) e y = f(θ)sen(θ) para α ≤ θ ≤ β.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Para una curva definida en forma polar como γ : r = f(θ), con f continua en [α, β], la parametrización es x = r cos(θ) = f(θ) cos(θ) e y = r sen(θ) = f(θ) sen(θ) en el intervalo α ≤ θ ≤ β.