Resumen de Funciones Vectoriales y Curvas en Cálculo Multivariable

## Introducción Las **funciones vectoriales** describen cantidades que varían con el tiempo y tienen varias componentes (por ejemplo, posición, velocidad, fuerza). En este material veremos definición, límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales en $\mathbb{R}^N$, con énfasis en reglas de derivación y ejemplos prácticos. ## ¿Qué es una función vectorial? > Definición: Sea $N\in\mathbb{N}$. Una función vectorial es una aplicación $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$, definida por > $$\vec{r}(t)=\bigl(f_1(t),\;f_2(t),\;\dots,\;f_N(t)\bigr).$$ - Para $N=2$ suele escribirse $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}$. - Para $N=3$ suele escribirse $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$. ### ¿Por qué son útiles? - Describen trayectorias, velocidades y fuerzas en física. - Permiten analizar movimiento en el espacio y componentes por separado. Did you know que una función vectorial se puede estudiar componente a componente, lo que simplifica mucho el cálculo? ## Límite y continuidad de funciones vectoriales > Definición (límite): Sea $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ y $\vec{L}\in\mathbb{R}^3$. Decimos que $\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{L}$ si > $$\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\;\text{tal que}\;0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow\|\vec{r}(t)-\vec{L}\|<\varepsilon.$$ > Observación: Si $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$ y $\vec{L}=L_1\,\hat{i}+L_2\,\hat{j}+L_3\,\hat{k}$, entonces > $$\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{L}\quad\text{si y sólo si}\quad\lim_{t\to t_0}x(t)=L_1,\;\lim_{t\to t_0}y(t)=L_2,\;\lim_{t\to t_0}z(t)=L_3.$$ > Definición (continuidad): Sea $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ y $t_0\in I$. Decimos que $\vec{r}$ es continua en $t_0$ si > $$\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{r}(t_0).$$ - Continuidad se verifica comprobando continuidad de cada componente. Fun fact: Las mismas pruebas de límite y continuidad que aplicas a funciones reales sirven componente a componente para funciones vectoriales. ## Derivada de una función vectorial > Definición: Sea $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$ y $t_0\in\mathrm{int}(I)$. Decimos que $\vec{r}$ es derivable en $t_0$ si existe > $$\lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t_0+h)-\vec{r}(t_0)}{h},$$ > y en tal caso escribimos > $$\frac{d\vec{r}}{dt}(t_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t_0+h)-\vec{r}(t_0)}{h}.$$ - Si $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$ entonces $$\frac{d\vec{r}}{dt}(t)=x'(t)\,\hat{i}+y'(t)\,\hat{j}+z'(t)\,\hat{k}.$$ - Derivar una función vectorial se hace componente a componente. ### Reglas de derivación (teorema) Sean $\vec{u}(t)$ y $\vec{v}(t)$ funciones vectoriales derivables en el mismo dominio, $\vec{C}\in\mathbb{R}^N$ un vector constante, $c\in\mathbb{R}$ un escalar y $f$ una función real diferenciable. Entonces: | Operación | Regla de derivación | |---|---| | Constante vectorial | $\dfrac{d}{dt}\vec{C}=\vec{0}$ | | Escalar por vectorial | $\dfrac{d}{dt}\bigl[c\,\vec{u}(t)\bigr]=c\dfrac{d\vec{u}}{dt}(t)$ | | Escalar multiplicando vectorial | $\dfrac{d}{dt}\bigl[f(t)\,\vec{v}(t)\bigr]=f'(t)\,\vec{v}(t)+f(t)\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)$ | | Suma/Resta | $\dfrac{d}{dt}\bigl[\vec{u}(t)\pm\vec{v}(t)\bigr]=\dfrac{d\vec{u}}{dt}(t)\pm\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)$ | | Producto punto | $\dfrac{d}{dt}\bigl[\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t)\bigr]=\dfrac{d\vec{u}}{dt}(t)\cdot\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\cdot\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)$ | | Producto cruz (solo $N=3$) | $\dfrac{d}{dt}\bigl[\vec{u}(t)\times\vec{v}(t)\bigr]=\dfrac{d\vec{u}}{dt}(t)\times\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\times\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)$ | | Regla de la cadena | $\dfrac{d}{dt}\bigl[\vec{u}(f(t))\bigr]=\dfrac{d\vec{u}}{dt}\bigl(f(t)\bigr)\,f'(t)$ | - Todas las reglas se aplican componente a componente cuando convenga. ### Ejemplos resueltos 1) Ejemplo simple de derivada componente a componente: Sea $\vec{r}(t)=\bigl(t^2,\;\sin t,\;e^{t}\bigr)$. Entonces $$\frac{d\vec{r}}{dt}(t)=\bigl(2t,\;\cos t,\;e^{t}\bigr).$$ 2) Ejemplo con producto punto: Sea $\ve